Ötszög alapú gúla köréírható és beírható gömbjének sugara?

Ehhez a feladathoz "rövid, kis magyarázatot" senki sem tud adni. Az alaplaphoz, egy hasonló feladat kárdéséval segíthetek:

[link]

Sajnos páratlan oldalú alaplappal csak ez a tetraéderes feladatom van kidolgozva:

[link]

Ebből is látszik, hogy nem egy tízperces feladat.

Jelölések:

ABCDE a szabályos ötszög alaplapja,

F a szemközti "felső" csúcs.

K az ötszög középpontja,

r a köré írható kör sugara,

M a CD oldal felezőpontja.

a=20cm (=AB=BC=...)

b=32cm (=AF=BF=...)

O a gúla köré írható gömb középpontja, rK a sugara,

N a gúla lapjait érintő gömb középpontja, rB a sugara.

mindkettő rajta van a KF temgelyen.

A beírható gömb a T pontban érinti a gúla CDF lapját.

---------------------------------------------------------------------

A szabályos ötszögben bármi könnyen kiszámolható és nem is csak közelítő tizedes törtekkel,

hanem gyököket tartalmazó pontos képletekkel. (Ugyanez vonatkozik a 18° többszöröseinek szögfüggvényeire is.)

Persze az interneten könnyen utána lehet nézni ezeknek, de aki jó akar lenni elemi geometriából, annak érdemes ezeken végigmennie.

Emellett ki kell számolni

m -t a gúla testmagasságát (=KF) és

ma -t az oldallapok magasságát (=MF).

---------------------------------------------------------------------

A fentiek nem okozhatnak nehézséget de most jön a lényeg,

amit rajz nélkül vázlatosan írok le, rajzolj le mindent.

A legfontosabb egy metszet elkészítése.

A metsző sík (mely a gúlának tükörtengelye) a gúlából az AMF háromszöget metszi ki,

mely tartalmazza a K,N,O,T pontokat is, ebből minden kérdésre választ kapunk.

rK:

Tekintsük az AKF derékszögű háromszöget (90°a K-nál).

Pitagorász tételével:

AK^2 + KO^2 = OA^2

r^2 + (m-rK)^2 = rK^2

rK=(m^2+r^2)/(2m)

rB:

Tekintsük az MKF derékszögű háromszöget (90°a K-nál).

A beírható gömb középpontja N (a KF befogón),

a gömb (és a belőle kimetszett kör) átmegy a K és T pontokon.

rB hasonlósággal és Pitagorasz tétellel is kijön.

(a KMF és TNF hároszögek hasonlóak.)

de különféle alakú képleteket kaphatunk, melyek azonossága igazolható.

Szerintem ez a legegyszerűbb: rB = rm/(ma+r)

---------------------------------------------------------------------

A fentiek minden olyan szabályos gúlára használhatók, ahol az alaplap páratlan oldalszámú.

Páros esetben kétféle tükörtengely, illetve metszet van, de könnyebbség, hogy azoknál a metszetek képei egyenlőszárú háromszögek.

A beírható gömb sugara az

rB = 3*térfogat/felszín

képlettel is kihozható, ami minden érintő-poliéderre igaz.

rK a gúla csúcsain áthaladó gömb.

rB a gúla oldallapjait érintő gömb.

Volna még egy harmmadik, de nehezebb feladat: a gúla éleit érintő gömb sugarának meghatározása.

Van poliéder (a szabályos gúlák is ilyenek) ahol létezik mind a háromféle gömb,

van amelyiknél nem mindegyik, legáltalánosabb esetben egyik sem.