Hogyan kell megoldani egy egyszerű Diofantoszi egyenletet?

A diofantosziakkal az a gond, hogy két egyenlet közötti kis eltérés is akár tök más módszert igényel.

A te egyenleted sztem kimondottan nem egyszerű.

Ilyenkor pl. valamilyen oszthatósági szabály alapján el lehet indulni.

De itt valóban az működik, hogy felbontva, átrendezve az egyenletet x^2-re másodfokúnak tekintjük az egyenletet, y-t pedig paraméternek.

Ekkor a diszkriminánsak szükségképpen egésznek kell lennie, sőt négyzetszámnak.

Jelen esetben: D= y^4-y^2+49=k^2

Na most hogy y is egész legyen ennek a diszkriminánsa is négyzetszám:

D=1-4(49-k^2)=m^2

ebből pedig: 195=4k^2-m^2

na ez már ismerős helyzet:

195=(2k-m)(2k+m)

195-nek pedig nincs olyan sok osztópárra bontása:

1*195; 3*65; 5*39; 13*15

négy egyenletrendszert kell megoldani, és ezek jönnek ki:

k=49; m=97

k=17; m=31

k=11; m=17

k=7; m=1

az adott k értékekből y meghatározható, mivel

y^4-y^2+49=k^2

innen az alábbi y^2 értékek jönnek ki (a negatívokat nem írom le):

y^2: 49; 16; 9; 1; 0

ebből a lehetséges y értékek:

7; -7; 4; -4; 3; -3; 1; -1; 0

a megfelelő x értékek most már meghatározhatók, de 1 és -1 esetén nem lesz egész, csak racionális

így az alábbi (x; y) számpárokat kapjuk:

(0;7) (0; -7) (3; 4) (-3; -4) (4; 3) (-4; -3) (7; 0) (-7; 0)

ha jól számoltam, nem maradt ki semmi