Ezt hogy hívják és hogyan kell megoldani?

Ketismeretlenes egyenletrendszernek hivjak. Megoldani pedig ugy kell, hogy az egyik egyenletbol kifejezed az egyik valtozot a masikkal, es ezt beirod a masodik egyenletbe. Igy mar csak egy egyismeretlenes egyenleted van, amit konnyu megoldani.

7x-2y=19

3x+5y=14

Az elsobol: 7x=19+2y, azaz x = (19+2y)/7

Behelyettesitve:

3 * (19+2y) / 7 + 5y = 14

3*19/7 - 6y/7 + 5y = 14

Másik lehetőség a gauss-jordan elimináció, amit valamiért csak felsőoktatásban tanítanak, pedig néha sokkal egyszerűbb, és nem is nehéz megérteni. Ha az egyenletek ilyen fokon rendezettek, mint itt, akkor az együtthatókat a bal oldalon, a konstansokat a jobb oldalon fel lehet írni egy szabályos mátrixba.

[7 -2 19]

[3 5 14]

Ilyenkor bármelyik sort bármennyivel szorozhatod (0-t kivéve értelemszerűen), és a sorokat, illetve azok többszörösét egymással összeadhatod, kivonhatod. Persze ehhez nem kell felírni a mátrixot, egy ilyen egyszerű egyenletrendszernél ránézésre is megy, pl. az első sorból lehet x-12y=-9, a második sor duplájának kivonásával, ezzel máris elkerülted, hogy olyan bonyolult törtekkel számolj, mint az első válaszoló.

A következő lépés az I sor 3*-osának kivonása a másodikból, így onnan kiküszöbölted, elimináltad az x-et (innen a módszer neve).

[1 -12 -9]

[0 -31 -13]

De minthogy eszerint y=13/31, gyanítom, hogy hasraütéses együtthatókat írtál. A matektanárok, tankönyvek nem szokták a tanulókat ilyen törtekkel gyötörni, ha nem a törtszámítást, hanem az egyenletrendezést kell gyakorolni.

Valamiért mindenki csak egy pongyola megnevezést adott! A szabatos és korrekt elnevezés a következő:

Algebrai, lineáris egyenletrendszer (Most speciálisan 2 ismeretlennel).

Megoldására számtalan módszer létezik. Van vagy legalább 15-20 módszer, amivel meg lehet oldani. Ezek közül kettőt mondtak az eddigi válaszolók.

Utolsó vagyok, és még én is kihagytam valamit: Az egyenletrendszer inhomogén. Tehát összességében úgy kell mondani, hogy:

Algebrai, inhomogén, lineáris, kétismeretlenes egyenletrendszer.

Kedves Kérdező, örülök ha érdekel a téma és valóban szeretnéd már érteni. Én vagyok a #4 és #5, aki nem vitt közelebb a megoldáshoz.

Viszont az alábbiakban leírok neked néhány olyan dolgot, ami biztosan közelebb visz a megértéshez, és talán egy szemléletmódot is ad.

Egy picit más oldalról szeretném megvilágítani és bevezetni az egyenletrendszerek problémáját, mint ahogy azt tanítani szokás.

A függvényekről már biztosan hallottál, az egyenes egyenletét pedig már ismered is, feltételezhetően. Egy egyenes egyenlete y=ax+b alakba írható, ahol "a" értéke jelzi, hogy mennyire meredek az egyenes. "b" értéke egy eltolást jelent, mégpedig azt, hogy az origóból hány egységet kell haladni, míg el nem jutunk az egyenesig.

Ha úgy tetszik, az egyenes egyenlete írható Ax+By=C alakba is, hiszen ha átrendezzük, akkor:

y=(C-Ax)/B=(-A/B)x+C/B, vagyis az előző jelölésekkel az a=-A/B és b=C/B formulák hozzák összhangba.

Vegyünk most két egyenest, legyen ezek egyenletei:

A1*x+B1*y=C1 és

A2*x+B2*y=C2.

A két egyenlet gyakorlatilag egy egyenletrendszert alkot. Vagyis, amikor azt mondják neked, hogy találj olyan x és y számot, amit bármelyik egyenletbe írva igaz egyenlőséget kapsz, akkor gyakorlatilag azt kérik tőled, hogy melyik az a pont, amelyet mindkét egyenes tartalmaz. Vagyis ilyen egyenleteknél gyakorlatilag a két egyenes metszéspontját számítjuk ki.

Pl. ha kiadódik hogy x=2 és y=3, az azt jelenti, hogy az x tengelyen jobbra elmész 2 egységet, onnan pedig föl 3-at. Az a pont, ahova így jutottál a két egyenes metszéspontja.

Ez egyfajta geometriai szemléletmód.

Előrebocsátok rögtön egy kérdést. Mi van akkor, ha a két egyenes párhuzamos? Két eset lehet:

1. Teljesen egybeesik a két egyenes, ekkor minden pont közös pont. Ez azt jelenti, h az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása létezik.

2. Nincs közös pont. Ekkor az egyenletnek nincs megoldása.

Ezek elméleti dolgok. Nézzük meg most, hogyan lehet konkrétan kiszámolni a dolgokat. Középiskolában sokszor az ún. behelyettesítés módszerét tanítják. Nézzük miből áll ez. Adott tehát két egyenlet:

A1*x+B1*y=C1 és

A2*x+B2*y=C2.

A módszer lényege a következő: Kifejezem az első változót az első egyenletből, azaz x-et:

x=C1/A1-(B1/A1)y, és ezt beírom a második egyenletben lévő x helyére. Hogy miért jó ez? Azért mert így már csak y marad, és y-ont ki tudjuk fejezni.

Írjuk tehát be:

A2*[C1/A1-(B1/A1)y]+B2*y=C2. Most kifejezzük y-ont:

y=[(C2/A2)-C1/A1]/(B2-B1/A1). Ez egy konkrét szám, nincs már benne az x.

De mennyi is az x? Hát azt már kifejeztük az előbb:

x=C1/A1-(B1/A1)y=C1/A1-(B1/A1)[(C2/A2)-C1/A1]/(B2-B1/A1).

Érdemes megvizsgálni azt az esetet, amikor A1/B1=A2/B2. Na ekkor léphet fel a két szélsőséges eset (Vagy nem létezik megold. vagy végtelen sok van). Ennek vizsgálatát rád bízom. Említésként csak annyit, hogy ez majd attól is gügg hogy C1 és C2 milyenek. (esetleg zérusok).

Végszóként akkor már csak pár említést a "matematikai szakszavakhoz".

Látszólag lényegtelenek, de valójában igencsak fontosak nemcsak elméleti, de gyakorlati oldalról is.

1. Algebrai: Ez azt jelenti, hogy a hagyományos négy alapművelet egymás utáni véges sok alkalmazásával az egyenlet megoldható. Más módszerekre (deriválás, integrálás, sorfejtés, stb.) nincs szükség. Léteznek pl. differenciálegyenletek is. Ezek megoldása és elméleti hátterének vizsgálata teljesen más módszereket követel meg, mint az algebrai egyenleteké.

2. Lineáris: Gondolj bele, mi lenne akkor ha az egyenletrendszer pl:

x^2+y^2=1

(x/2)^2+(y/0.5)^2=1

alakú. Azaz x és y magasabb hatványban is előfordul. Ezt egy picit másképp kell már megoldani. Aki tanult pl. koordinátageometriát, az látja, hogy egy kör és egy ellipszis metszéspontjairól van szó. Az is egyszerűen adódik, hogy négy megoldás lesz, négy metszéspont, ennek oka a négyzetek megjelenése.

Persze ezt még mindíg könnyű megoldani, akár a behelyettesítés módszerével, csak ugye két-két esetet kell vizsgálni, hogy a gyökből mikor lesz plusz meg minusz.

De lehetne mondani ennél sokkal bonyolultabbat, pl:

x^9+y^6+(xy)^5+3^x=28

x^4+y^3+(xy)^28+(y^2)*(x^3)+2^(xy)=77

na ezt ugye már bonyolultabb lenne megoldani. Sőt egész biztos hogy ennek a megoldása nem állítható elő a négy alapművelet véges sok kombinációjával. (Erre más módszereket találtak ki, lásd numerikus módszerek, de ez messze vezet).

Végül tehát a következtetés: Azokat az egyenleteket szeretjük, amibe x és y nem szerepel 1-nél magasabb kitevőkben, továbbá ezeknek csak lineáris függvénye szerepel. Tehát nincs benne xy szorzat x^n, y^m hatványok, a^x, b^y,...stb csúnya tagok.

Tehát ha csak x, meg y van benne, azt hívjuk Lineárisnak. (Az elnevezés abból van, hogy egyenesekkel dolgozunk, az egyenesek pedig lineáris kapcsolatot jelent).

Minden más egyenlet nemlineáris. Tehát ha pl. kör+ellipszis metszéspontja kell, az már ún. nemlineáris egyenletrendszer.

3. Homogén vagy inhomogén: Erről a tulajdonságról csak akkor beszélünk, ha az egyenletrendszer lineáris, azaz

A1x+B1y=C1

A2x+B2y=C2

alakú.

Ha C1=0 és C2=0, akkor azt mondjuk hogy homogén. Ha valamelyik nem zérus, akkor inhomogén.

Az elnevezések miértjébe most nem megyek bele, mert ez már lineáris algebrába menő dolog.

Még egy megjegyzés, hogy teljes legyen, amit itt írkálok:

Nem csak kétismeretlenes, lineáris egyenletrendszer van lehet pl. 3 ismeretlenes is,pl:

x+y+z=10

2x+3y+z=5

x+y+11z=1

hasonlóan több ismeretlen is lehet benne. Ezekre is működik a behelyettesítés módszere. Azonban, itt már nehezebb kivitelezni a számításokat, ezért találtak ki olyan módszereket, amit a #2 válaszoló mondott, Gauss-elimináció, stb...

Ezek azért jók, mert számítógépen leprogramozzák és onnanttól kezdve bármit beadhatsz neki, ő megoldja.

Három ismeretlennél is megvan a geometriai szemlélet: Mégpedig adott három sík a térben, és ezeknek keressük a közös pontját:

Két sík közös része: egyenes.

A harmadik sík és az egyenes közös része: egy pont és ez a megoldás.

A matematikusok bebizonyították, hogy tetszőleges n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszernek is létezik megoldása, mégpedig egyetlen egy, bizonyos feltételek esetén.

Hogy mikor létezik, nem létezik, végtelen sok létezik, ezek a lineáris algebra módszereivel tárgyalhatók egységesen, tetszőleges n-dimenzióban.

Na ennyi, remélem hasznos és kimerítő.