Igazoljuk a következő egyenlőségeket?

Talán ez rávezet: próbáld meg megszorozni az első törtet 101-gyel, aztán – hogy ne változzon meg, mert ugye ugyanezt szeretnéd kapni – oszd is el 101-gyel. Kicsit máshogy: szorozd meg 1 = 101/101-gyel a törtek szorzási szabályának megfelelően.

A második egyenlőség (43/85 = 434343/858585) igazolásához próbálj te rájönni a trükkre.

> „…lehet olyanra kéne rájönnöm, amit még nem is tanultam, vagy amiről még nem is hallottam.”

Most ez nem lehet, mert majdnem biztos, hogy tanultál a dologról, amire rá kéne jönnöd, és egészen biztos, hogy hallottál róla, mert lényegében leírtam (viszont akkor se reménytelen a helyzet, ha még nem is hallottál a dologról, mert volt egy első valaki, aki magától rájött).

Elsőnek tudni kell, hogy ha egy tört számlálóját és nevezőjét is megszorozzuk ugyanazzal a számmal, akkor a tört értéke ugyanaz marad. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8, stb… Ez szerintem érthető. Ha kétszer, háromszor, sokszor annyi dolgot kell kétszer, háromszor, sokszor annyi felé osztani, akkor ugyanannyi jut mindenkinek.

A tízes számrendszerben egy szám így néz ki:

162 = 1*100 + 6*10 + 2*1 = 100 + 60 + 2

Ha tehát egy számot megszorzok tízzel, akkor minden szám egyel balra vándorol. Pl.:

162 * 10 = 1620

Ha egy számot százzal szorzok meg, akkor két számjegyet vándorol minden számjegy balra:

162 * 100 = 16200

Oké. Van egy kétjegyű számunk, mondjuk ez a 43. Ha ezt megszorzom százzal:

43 * 100 = 4300

Ha ehhez még hozzáadom a számot még egyszer:

4300 + 43 = 4343

Tehát ha egy kétjegyű számot megszorzok 101-el, akkor egy olyan számot kapok, mintha a megismételném a számjegyeket:

43 * 101 = 4343

Nézzük máshogy:

4343 = 4*1000 + 3*100 + 4*10 + 3*1 = 4*1000 + 4*10 + 3*100 + 3*1 = 4*1010 + 3*101 = 4*10*101 + 3*101 = 101*(4*10+3*1) = 101*43

Ilyen módon a 4343 / 8585 = (43 * 101) / (85*101)

Mivel a számlálót is, a nevezőt is ugyanazzal a számmal szoroztuk meg lehet vele egyszerűsíteni:

(43 * 101) / (85*101) = 43/85

A 434343/858585 hasonlóan működik:

434343 = 4*100000 + 3*10000 + 4*1000 + 3*100 + 4*10 + 3*1 = 4*(100000+1000+10) + 3*(10000+100+1) = 4*101010 + 3*10101 = 4*10*10101 + 3*10101 = 10101 * (4*10+3*1) = 10101 * 43

Ha nem érted, olvasd át újra. Ha úgy sem, olvasd át újra. Ha úgy sem, akkor az azt jelenti, hogy valahol az általános iskola első, második évében akadtál el, nem érted a szorzás, összeadás műveletét, ezesetben hagyni kell a törteket, és elővenni a szorzás, osztás, kivonás, összeadás műveleteket, és azt megérteni.

Az általánosítás lehet az, hogyha leírod mondjuk akárhányszor egymásután, hogy 43, aztán azt, hogy 85, majd az így kapott két számot elosztod egymással, akkor mindig 43/85-öt kapsz.

Az is jó általánosítás, hogy tetszőleges kétjegyű számra is igaz, hogy

ab/cd = abab/cdcd = ababab/cdcdcd.

(Itt most a, b, c és d számjegyek, ab, cd, abab,… pedig a belőlük képzett számok, nem szorzatok vagy új külön változók.)

A fenti kettőből még olyan általánosítást is lehet csinálni, hogy kettő helyett akárhányjegyű számokat írunk egymásután, akárhányszor, például:

421/542 = 421421421421/542542542542.

De gondolkozhatsz másmilyen jellegű általánosításon is. Például arra sincs szükség, hogy 10-es számrendszerben felírt számaink legyenek… Szorgalmi feladat, találj ki egy negyedik fajta általánosítást is.