Hilbert Grand Hotel-paradoxonja hibás?

A paradoxon abban van, hogy nehéz elképzelni, hogy a végtelenhez (mint "szám"-hoz) egyet hozzáadva az eredmény ismét végtelen. Sőt, ugyanolyan nagyságrendű végteleneket összeadva is csak ugyanolyan nagyságrendű végtelent kapunk.

Mert a végtelenek is többfélék. Először is tudatosítanod kell magadban, hogy a végtelen nem egy szám. Mondogasd magadban: a végtelen nem egy szám, a végtelen nem egy szám...

Azt is tudatosítanod kell magadban, hogy "számolással" egyetlen végtelenig sem juthatsz el. Ezért ostobaságok - és nem is túl viccesek - az idevonatkozó Chuck Noris viccek.

De akkor mi a végtelen és hogyan érhetjük el, vagy hogyan állíthatjuk, hogy létezik?

A végtelen bizonyos halmazok SZÁMOSSÁGA, azaz elemeinek mennyisége (szándékosan nem használtam a "száma" szót, hogy ne kavarjalak meg vele, ha már eleget mantráztad volna a "végtelen nem szám"-ot). Hogyan lehet megmondani, hogy "mennyi" a végtelen, ha nem lehet megszámolni?

Egyszerűen: párba állítással. Keresünk egy olyan végtelen halmazt, amiről már tudjuk, hogy végtelen (sőt, azt is tudjuk, hogy milyen végtelen - erről kicsit később), és bebizonyítjuk, hogy a két halmaz elemei párosíthatók úgy, hogy nincs köztük ismétlődő pár. Ez nem olyan bonyolult, mint amilyennek hangzik.

Pl. azt közvetlenül nem tudom bebizonyítani, hogy a "végtelen"+1 = "végtelen", de azt be tudom bizonyítani, hogy a "végtelen"-1="végtelen". Éppen erről szól a Hotel probléma megoldására. Ha a végtelent "bezsúfoljuk" egy "egyel kisebb" végtelenbe, akkor még mindig "belefér". Érthetőbben: ha a megszámlálhatóan végtelen halmaz 1-gyel "zsugorítom" (azaz kivonok belőle egyet, vagy üresen hagyom az első szobát és a többibe beköltöztetem a vendégeket, akkor még mindig megszámlálhatóan végtelen helyem van).

Itt az ideje, hogy megmagyarázzam a "többféle" végtelent. Emlékeztető: a végtelen nem egy szám, hanem számosság, valamilyen végtelen halmaz elemeinek mennyisége. Ilyen végtelen halmaz a természetes számok (1, 2, 3,... stb.) halmaza. Ennek számosságát megszámlálhatónak nevezzük. Végtelen sok halmaznak van ekkora számossága, pl. a pozitív páros számok (2, 4, 6,...), ami "kevesebbnek" vagy az egész számok (0, 1, -1, 2, -2...), ami pedig "többnek" látszik a természetes számoknál. Ezek bizonyítása egyszerű. A poozitív páros számok esetén állítsuk párba a páros számot a saját felével a természetes számok közül, azaz a 2 = 1, 4 =2, stb. Látható, hogy minden pozitív páros számhoz hozzárendelhető (párba állítható vele) egy természetes szám, hiszen minden pozitív páros számnak a fele is pozitív egész szám (azaz természetes szám) és nincs két különböző pozitív páros szám, amelynek ugyanannyi lenne a fele. Ezzel beláttuk, hogy pozitív egész szám ugyanannyi van, mint pozitív páros szám.

Az egész számok kicsit bonyolultabban, de hasonló elv alapján párosíthatók a természetes számokkal. Itt a hozzárendelés szabálya az, hogy a 0-hoz az 1-et, a pozitiv számokhoz a 2k-t (ahol k az adott szám), a negatív számokhoz a 2k+1-et (ahol k a negatív szám abszolút értéke) rendeljük hozzá, azaz 0=1, 1=2, -1=3, 2=4, -2=5, stb.

De itt még nincs vége a végteleneknek. A megszámlálható (vagy sorszámozhatónak is mondják, azt hiszem érthető, miért) végtelenen kívül más végtelenek is léteznek. Ezek közül a megszámlálható a legkisebb. Ha érdekel, hogy ez pontosan mit jelent, akkor majd szívesen elmondom, de most nem akarom ezzel húzni az időt. Azt is csak az érdekesség kedvéért mondom el, hogy a megszámlálható végtelen után következő nagyságú végtelen a kontinuum számosságú halmazok végtelensége (ilyenek a valós számok és a komplex számok), ezt követi a valós függvények számossága stb. Végtelen sok végtelen van, és azt még ma sem tudjuk eldönteni, hogy a végtelenek halmazának számossága nem egy olyan nagyságú végtelen, amely nincs a halmazban található végtelenek között...

Ez csak egy gyenge bevezető, és mivel ez a terület a matematikának egy igen jól fejlett területe, ezen a helyen ennél többet most nem tudok írni róla, de ha kérdésed van, szívesen válaszolok - ha tudok...

> > "Tegyük fel, hogy egy ilyen hotelben az összes szoba megtelt, olyan sok vendég van."

> Ez hibás kijelentés. Ha végtelen sok szoba van, akkor nem tud megtelni.

Miért ne tudna? Van két végtelen halmazod. Az egyikben végtelen sok szoba van, a másik halmazban végtelen sok vendég. A két halmaz elemei között létrehozható egyértelmű megfeleltetés, ami alapján minden szobára egy és pontosan egy vendég, minden vendégre egy és pontosan egy szoba jut, minden szobának és vendégnek pontosan egy párja van. Bármelyik tetszőleges vendégről meg tudjuk állapítani, hogy melyik szobában lakik, és bármelyik tetszőleges szobáról meg tudjuk mondani, hogy ki bérli. A szobák kiadása persze macerás, hiszen végtelen sok idő kellene, hogy megteljen a hotel, vagy végtelenül gyorsnak kellene lennie a szobák elfoglalásának. De kár is firtatni, hogy hogy telt meg a hotel, egyszerűen csak kimondtuk, hogy megtelt. Ha úgy tetszik Isten/Jehova/Allah/Brahma/Jupiter/Zeusz így teremtette és kész.

Oké, a valóságban nincs végtelen sok szobával rendelkező hotel, sem végtelen számú vendég. De ha ezt sikerül félretenni, és elképzelünk – vagy legalábbis megpróbáljuk elképzelni – egy valóban végtelen sok szobából álló hotelt, onnan eléggé visszalépést jelent az a kijelentés, hogy nem tud megtelni.

> Ha megtellett az összes szoba, akkor meg nem tudna átköltözni az egyel nagyobb számúba. Ha át tudnak költözni, akkor meg van olyan szoba, ami üres, tehát nem tellett meg.

Mindenki kimegy a saját szobájából. Ergo minden szoba üressé válik. Mindenki elsétál az egyel nagyobb sorszámú szobához és bemegy. Mivel végtelen számú szobáról van szó, mindenki tud egy egyel nagyobb sorszámú szobát találni.

Ennek a matematikai megfelelője, ha van két halmaz, amiben mind természetes számok vannak. Az egyik halmaz x eleméhez hozzárendeljük a másik halmaz x+1 elemét. Megtehetjük. Bármelyik tetszőlegesen nagy x esetén meg tudod mondani, hogy a másik halmazból melyik szám van vele párban. Egyértelműen megfeleltethetőek a két halmaz elemei egymásnak.

> Ez az egész fölösleges. Ha végtelen, akkor minek költöztetni több milliárd embert,

Ebből is látszik, hogy nem érted a végtelen fogalmát. A több milliárd ember véges. A több googolplexnyi ember is csak véges. A több Graham-számnyi ember is véges. Itt végtelen számú emberről van szó. Te úgy „képzeled” el a végtelent, mint valamiféle nagyon nagy számot, ami már számodra elképzelhetetlen. De ez nem így van. Bármilyen hatalmas, óriási számot is képzelsz el, az a végtelenhez képest még mindig semmi.

> > "Talán még ennél is meglepőbb, hogy nem csak egy vendéget, hanem végtelen sok vendéget is el lehet helyezni."

> Nem meglepő. Egy végtelen szobájú szállodában végtelen sok embert el lehet helyezni.

Az a meglepő, hogy egy olyan szállodában, ami tele van, annak ellenére, hogy tele van, mégis további végtelen számú embert lehet elhelyezni.

> Nem, nem lehet "n" az ülések száma, ha végtelen sok ülés van a buszokban...

> Ráadásul nincsen i-edik busz, ugyanis abból is végtelen van...

Nem jól érted. Az ülések száma végtelen. De egy adott személy ülésének van egy sorszáma. Ez olyan, hogy végtelen sok természetes szám van, de egy konkrét természetes szám mégiscsak egy véges szám. Egy végtelen ülésszámú buszon is van egyes, kettes, hármas, 8722-es, 10^10^10^10^10-es, stb. számú ülés.

Detto ugyanez a buszoknál is.

> Mert végtelen a szobák száma, de ahhoz, hogy még embert tudjunk befogadni, ahhoz több szobának kell lennie, mint embernek

Pont erre világít rá a példa, hogy míg véges számoknál ez így van, a végtelennél nem használhatóak ezek a véges számoknál triviális kijelentések. Pont ettől (ál)paradoxon, mert ellent mond a józan észnek. Viszont álparadoxon, mert valójában nem az.

Mondok egy matematikaibb példát. Van két halmazunk. Az egyikben a természetes számok vannak (mondjuk mint sorszámok). A másikban a pozitív páros számok vannak. Lehet csinálni egy egyértelmű megfeleltetést:

x → 2*x

Oké, így összepárosítottuk a páros számokat és a természetes számokat. Máshogy fogalmazva sorba raktuk a páros számokat, mindegyik páros szám kapott egy sorszámot. Valahogy így:

1. → 2

2. → 4

3. → 6

4. → 8

…

1000. → 2000

…

x. → 2*x

Minden sorszámhoz egy és pontosan egy páros szám tartozik (2*x). Minden páros számnak egy és pontosan egy sorszáma van (x/2). Minden páros számnak megállapítható a sorszáma, és minden sorszám esetén meg lehet mondani, melyik páros szám tartozik hozzá.

A két halmaz „számossága” tehát azonos. Azért nem a halmaz elemeinek számáról beszélünk, mert az egy szám lehetne csak. Végtelen számú elem van, tehát nincs a halmaz elemeinek száma. Számossága van csak, ami inkább egy állapot, mint egy konkrét szám. Egy végtelen halmazt csak egy másik végtelen halmazhoz lehet hasonlítani, azzal megfeleltetni dolgokat. Ha hozható létre egyértelmű, kölcsönös megfeleltetés a két halmaz között, akkor azt mondjuk, hogy a két halmaz számossága azonos. Ez a számosság viszont nem úgy működik, mint egy konkrét szám, nem igazak azok az összefüggések rá, amik a véges számokra.

Nos ez azért dobja le az ember agyában az ékszíjat, mert a páros számok a természetes számoknak csak egy részhalmaza, a naiv következtetése az embernek az lenne, hogy pozitív páros számból fele annyi van, mint természetes számból, hiszen csak minden második természetes szám páros. Ez így persze eléggé száraznak tűnik, ezért is jó ez a hotel paradoxon, mert megpróbálja valahogy szemléletesen mindezt leírni.

∞ + 1 = ∞

∞ + n = ∞

∞ + ∞ = 2*∞ = ∞

n * ∞ = ∞

∞ * ∞ = ∞

∞ - 1 = ∞

∞ -n = ∞

∞ - ∞ = ? (lehet végtelen, lehet véges szám, lehet nulla, attól függően, hogy miből mit vonunk ki)

∞ / 2 = ∞

∞ / n = ∞

∞ / ∞ = ? (ez is lehet kvázi akármi)

De valahol te még nem érted a végtelen fogalmát, még mindig a véges dolgok működését kéred a végtelen működésén számon.

Kezdjük az elején. Ezt írod:

"Tegyük fel, hogy egy ilyen hotelben az összes szoba megtelt, olyan sok vendég van."

Ez hibás kijelentés. Ha végtelen sok szoba van, akkor nem tud megtelni.

Ha a végtelen egy szám lenne, igazad volna. Hadd mutassam ge, hogy hogyan tölthetünk meg egy végtelen szobaszámú hotelt végtelen jelentkezővel úgy, hogy még végtelen vendégnek nem jut hely.

Minden vendég, aki szobát szeretne, kap egy sorszámot: 1, 2, 3, 4 és így tovább. Ekkor a hangosbemondóban a diszpécser (akinek fogalma sincs a "végtelen" természetéről) bemondja, hogy

"A torlódások elkerülése végett kérjük, hogy először azok a vendégeink foglalják el szobájukat, akiknek a sorszáma páros szám. Ezek a vendégeink a szobát kapták, amelyek szobaszáma megegyezik a sorszámuk felével."

Amikor mindenki elfoglalta a szobáját, a diszpécser előtti konzolon megjelenik a "Szálloda megtelt" figyelmeztetés. Miért? Azért, mert az 1-esben a 2., a 2-esben a 4. ... az 1000-eben a 2000., ... 10 a 10000000000-dikonban (ez egy olyan szám, amit 10 milliárd nullával irnak - ennyi nulla 6667 A/4-s lapra férne rá) a 2 x 10 a 10000000000-dikonodik sorszámú vendég foglalta el. És így tovább a végtelenségig.

Az ugye világos, hogy páros számból végtelen sok van? És az is, hogy páratlan szám ugyanannyi van, mint páros szám? Akkor tehát, ha a páros számok végtelen sokan vannak, akkor a páratlan számok is ugyanennyien. És a (pozitív) páros és páratlan számok együtt éppen

a természetes számokat adják ki (csak emlékeztető: 1, 2, 3, ... a természetes számok), vagyis a szobák száma a hotelben, ami szintén végtelen.

Megtörtént hát a lehetetlen: elhelyeztünk egy végtelen hotelben végtelen vendéget és még mindig nincs szobája végtelen vendégnek. A példa azt is mutatja, hogy a végtelen fele is végtelen, de rosszabb hírem is van, a végtelen akárhanyad része (harmada, negyede stb.) is végtelen.

Ha ezeket sikerült megemésztened, szívesen tovább elemzem neked a többi problémádat is, ha akarod. De előbb tényleg meg kell értened a fenti levezetést.

Még valami. A Grand Hotel-paradoxon David Hilbert nevéhez fűződik, aki többet tudott a végtelenről, mint az egész emberiség együttvéve. Nem valószínű tehát, hogy hibásan fogalmazta volna meg a feladatot. És az még valószínűtlenebb, hogy a feladat 1900-körüli megjelenése óta eltelt 115 év alatt egyetlen matematikus, fizikus vagy csak logkusan gondolkodó ember se vette volna észre, hogy hiba van benne.

De te ne azért fogadd el, hogy a feladat hibátlan, mert Hilbert, vagy valaki más azt mondta, hanem azért, mert belátod, hogy mégsincs benne hiba. Ha akarod, ebben tudok neked segíteni.