Hogyan kell kiszámolni a gamma függvény értékét?

> „Nem tudom hogyan kell végtelenig integrálni,…”

Általában az a definíció, hogy ki kell integrálni x-ig, és venni a határértékét, ha x tart a végtelenhez.

> „ez egy bonyolult szorzat.”

Ez szubjektív.

Amúgy ha s = 1/2, akkor Γ(s) = gyök(π), ha s = 1, akkor Γ(s) = 1. Ha s felírható n/2 alakban, ahol n pozitív egész szám, vagy egy negatív páratlan szám, akkor az s*Γ(s) = Γ(s + 1) rekurzióval könnyen visszavezetheted a fenti két eset valamelyikére. Ha s nem pozitív egész szám, akkor a kifejezés értelmetlen (1/0-hoz hasonlóan).

Minden más esetben pedig a numerikus számolást javaslom első körben.

Ha nem negatív egészeknél akarod tudni az eredmény részletes levezetését, akkor a parciális integrálást ajánlom figyelmedbe:

[link]

[link]

Ezzel kijön a s*Γ(s) = Γ(s + 1) azonosság is. A Γ(1/2) kiszámolása kicsit trükkösebb.

"Ha s nem pozitív egész szám, akkor a kifejezés értelmetlen"

Ez nem igaz. Pl. ha s=1,1 :

1,1 * Γ(1,1) = Γ(2,1) akkor is teljesen korrekt.

Rögtön azzal cáfolhattál volna, hogy odaírtam, mennyi a Γ(s), ha s = 1/2…

Amúgy jogos, egy vessző tényleg kimaradt, és kellett volna oda. Helyesen:

„Ha s nem pozitív, de egész szám (szóval negatív egész vagy nulla), akkor a kifejezés értelmetlen.”

(((De hogy én is beléd kössek: ugyanígy írhatnád ezt is:

„Például ha s = –3, akkor a

–3*Γ(–3) = Γ(–2)

is teljesen korrekt.”)))

Privátban még az s = 3-on voltál elakadva…

1/2-re meg tudom mutatni, hogy hogyan kell csinálni:

Γ(1/2) = int(t^(-1/2)*e^(-t), t = 0..∞).

Helyettesítsünk t = x^2-et, ekkor dt = 2*x*dx, és a határok nem változnak, tehát

int((x^2)^(-1/2)*e^(-x^2)*2*x, x = 0..∞) = 2*int(e^(-x^2), x = 0..∞).

Mivel az x^2, így az e^(-x^2) is páros függvény, ezért az integrál értékét megduplázzuk, ha -∞-től integrálunk, és így a kettes eltűnik. Nevezzük el ezt az integrált I-nek:

I = int(e^(-x^2), x = -∞..∞).

Szorozzuk meg ezt egy ugyanilyen integrállal, aminek a változója y, mivel a változó csere nem változtatja meg az integrál értékét, így az I-nek a négyzetét kapjuk:

I^2 = int(e^(-x^2), x = -∞..∞)*int(e^(-y^2), y = -∞..∞).

Az egyik integrál a másik változójára nézve konstans, így bevihetjük a másik alá, és aztán alkalmazhatjuk Fubini tételét:

I^2 = int(int(e^(-x^2), x = -∞..∞)*e^(-y^2), y = -∞..∞) = int(int(e^(-x^2)*e^(-y^2), x = -∞..∞), y = -∞..∞) = int(int(e^(-(x^2 + y^2)), x = -∞..∞), y = -∞..∞).

Most helyettesítsünk x = r*cos(φ)-t, és y = r*sin(φ)-t. Ekkor x^2 + y^2 = r^2*cos(φ)^2 + r^2*sin(φ)^2 = r^2, dx*dy = r*dr*dφ, határok pedig úgy változnak, hogy φ megy 0-tól 2*π-ig, r pedig 0-tól végtelenig (lásd hogyan helyettesítsünk polárkoordinátákat).

I^2 = int(int(e^(-r^2)*r, r = 0..∞), φ = 0..2*π) = Δ(int(e^(-r^2)*r, r = 0..∞)*φ, φ = 0..2*π) = int(e^(-r^2)*r, r = 0..∞)*2*π - int(e^(-r^2)*r, r = 0..∞)*0 = 2*π*int(e^(-r^2)*r, r = 0..∞).

Vegyük észre, hogy az e^(-r^2) deriváltja nagyon hasonlít arra, amit integrálni szeretnénk, annak éppen a -2-szerese, tehát a primitív függvényünk -1/2*e^(-r^2) lesz.

I^2 = 2*π*Δ(-1/2*e^(-r^2), r = 0..∞) = 2*π*(-1/2*e^(-∞^2) - (-1/2*e^(-0^2))).

Az első tagot ugye az improprius integrál definíciójának értelmében lim(-1/2*e^(-z^2), z = ∞) = 0-nak tekintjük, a második tag pedig egyszerűen 1/2, azaz

I^2 = 2*π*(0 + 1/2) = π.

Ebből Γ(1/2) = I = gyök(π) és készen vagyunk.

Ha ez nem elég ijesztő, akkor elárulom, hogy például a Γ(1/3) is bizonyítottan egy transzcendens szám, ráadásul algebrailag független a π-től azaz nem áll elő π-nek polinom függvényeként. A Γ-függvény további értékeinek (azaz azoknak, amikről fentebbi hozzászólásaimban nem emlékeztem meg) kiszámolásához csak közelítő módszerek ismertek. Részletesebben lásd:

[link]

[link]

[link]

[link]

[link]

És persze az „alap” technikák kimaradtak:

[link]

Ezekkel is lehet próbálkozni, természetesen.