Mit jelent a matematikában érteni valamit?

Nehéz erre válaszolni.

"Ha jól gondolom a matematika egy logikus építmény, amelyben nincsenek ellentmondások, tehát bármiből bármi kikövetkeztethető."

-Azt mondanám, hogy az emberiség leglogikusabb építménye.

Nagyon elméleti szinten van igazság ebben a "kikövetkeztethető" dologban is.

"Úgymond bárhonnan bárhova el lehet jutni, és közben végig érvényesek a matematika szabályai."

-El lehet jutni, csakhogy elképesztően nehéz lépések árán, itt van benne a trükk.

Egy egyetemi matek szakon éppen ezeket a lépéseket mutatják meg (a fontosabbakat) és egy nagyon okos ember valamennyire érteni fogja ezeket a lépéseket, többnyire, azután, hogy megmutatták neki! Ez a legtöbb egy szörnyű okos embertől, ami elvárható!

Egy zseni ráérez, vagy rájön egy-két "lépésre" magától is.

Egy zseni középiskolásként sem jön rá senki az egész egyetemi matek anyagra, ugyanis ez azt jelentené, hogy több évezred fejlődésének a lényegére magától rájött, zanzásítva több tucat igazi zseni munkásságát... Na ezt jelentené, hogy valaki "kikövetkeztetné" az összes dolgot... :D

"amelyben nincsenek ellentmondások"

ha ha, Gödel szívből utál téged :D

[link]

Először is: azért mertismered az alapvető szabályokat ismered, nem biztos, hogy fel is tudod őket ismerni valamilyen más bonyolultabb megjelenési formájukban. Vagy hogy fel tudod ismerni, ha egy felismert szabály egy már ismert szabályból ered.

Itt lépnek elő a bizonyítások, a tételek...

Másodszor: a mateknak is vannak a logikában, filozófiában gyökerező alapjai.

Igaz, hogy úgy próbáljuk felállítani, mint egy formális rendszert, ami kis számú szabályból és axiómából levezethető...

(lásd [link] )

de ahogy Gödel is bizonyította ez nem is problémamentes/tökéletesen lehetséges.

Harmadszor, a matekon belül is vannak bizonyos területek, amik akár teljesen újszabályokat/szemléletmódokat vezetnek be, amik nem konzisztensek/kölcsönösen kizáróak más területekkel szemben.

Valójában azokra a módszerekre is amiket megtanulsz úgy kell inkább tekinteni, mint egy lehetséges modellezési módszerre sok közül.

Negyedszer, a matematikatörténetet egyrészt a saját világunk tulajdonságai, másrészt a tudomány, filozófia, gyakorlati élet más területeinek igényei formálták.

Ötödször, visszatérve az eredeti kérdésedhez, a matematikai kutatás részben a régi módszerek megfelelő helyen alkalmazásának megtalálása, részben új módszerek kidolgozása.

Most lehet hogy úgy tűnik (mivel már csak egy végeredményt, egy építményt látsz) mintha a matek nem is nézhetne ki máshogy, de nem látod a kutató szemszögéből.

Képzeld el, hogyan építenéd fel a matematikát a nulláról.

Először is kitalálsz valamilyen jeleket.

Mondjuk, legyen egy vonal egy "egység".

És kitalálod azt, hogy összeadás.

Itt is rögtön bizonyos alapfeltételezéseket fektetsz le, mint a tárgyállandóság. Hogy egy mennyiség nem tűnhet el, nem jöhet a semmiből. Ezt pl. egy csecsemő még nem ismeri, ez a felismerés valahol a felnövés során a tanulási folyamatunk része. De egy felnőtt megtanulja az elvet alkalmazni, már mielőtt matekról hallana. 1+3=4 művelet során nem kerülhet bele valami, ami miatt =5.

Vagy az, hogy minden "egység" egyforma nagy mindig.

Azt mondom, hogy ahelyett, hogy vonalakat húznék örökké, inkább minden adott számú vonalat valamilyen jellel fogok jelezni.

(Megintcsak, nem feltétlen biztos hogy ez az egyetlen lehetséges út, de...)

De nem akarsz végtelen sok jelet sem, folyamatosan újakat kitalálni, tehát azt mondod hogy legyen mondjuk 10 jel, és utána mindig csak utánaírom az elejéről, ami fölötte jön, pont ahogy a vonalakkal tettem:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,

20,21...

Persze megtehetném, hogy mondjuk csak két jelet használok helyette, nem tízet.

0,1,

10,11,

100,101,110,111,

1000...

Aha! A számrendszerek! Persze itt még nem tudom, hogy ezek számrendszerek, csak most találtam ki őket.

És folyamatosan ellenőrzöm vissza, hogy ha lefektetek valamilyen szabályt, annak mik a következményei a többi létező szabályra nézve? A klasszikus logikát hívva segítségül, logikus-e, mondjuk, önellentmondásmentes-e?

Bizonyos értelemben véve az emberi gondolkodásnak van valamilyen törvényszerűsége. Csak azt tudjuk alkalmazni, amire emberileg képesek, hajlamosak vagyunk. Egészen bizonyos, hogy a nyelv és a matematikai képesség is valahol bennünk gyökerező dolog. De ennek ellenére amikor a matematikánkat felállítjuk, mégiscsak teljesen új módszereket, modelleket találunk ki. Lényegében ha valahogyan meghatározható az agy, azt kéne mondani, hogy: egy modellező készülék. Nem "megvilágosodó" készülék, nem fizikailag kerülnek át a világból a tárgyak bele, hanem megpróbál szabályokat felállítani, és ezekkel valamit ábrázolni, azért, hogy sok információt (a világot tekinthetjük úgy, mint rengeteg apró információt) kevés információra lefordítani (olyan dolgok, amik sok mindenre igazak, és így csak egyszer kell eltárolni őket, ahelyett, hogy mindig újra megalkotnád őket, amikor létrehozod a fejedben a világ mását). Erre szükség van, mert ha az agyad olyan bonyolult lenne, mint a vilég, minden részlet benne lenne, akkor olyan nagy kiterjedésű is lenne, mint a világ. Tehát egyszerűsíteni kell, és a szabályokkal/ismétlődésekkel való leírás ennek a módja.