Bizonyos mennyiségű cukorból elhasználtak 15 kg-ot majd a maradék ötödét és még így is 3 kg-al több maradt mint amennyit elhasználtak. Mennyi cukor volt eredetileg?

Van X kg.

Első lépésben elhasználnak 15-öt.

Marad: X-15

Második lépésben elhasználják a maradék 1/5-ét:

Felhasznált rész: (X-15)/5

Az előbb már elhasználtak valamennyit, szóval ez előző maradékból kell ezt elvenni:

X-15-(X-15)/5

Ezt másképpen is fel lehet írni. Ha elhasználják a maradék 1/5-ét, akkor a 4/5-öde marad meg, azaz

4/5*(X-15)

Az, hogy 3 klióval több marad, mint amit elhasználtak, mit jelent?

Van 100 valamid. Elvaszed a felét, azaz 50-et, marad 50. Az elvett rész és a maradt rész különbsége 0. Ha kevesebbet veszel el mint a fele, akkor több marad. Vagyis ha 49-et veszel el, akkor 51 marad. A 49 1-gyel kisebb a felénél, de a maradék és az elvett rész különbsége mégis 2. Vagyis ha N-nel csökkented az elvett részt, akkor 2N-nel nő a különbség.

A példádban elvettél valamennyit, és még így is valamennyi+3 maradt meg, ami azt jelenti, hogy a 3/2=1,5 van a teljes feléig. Vagyis a teljes cukrot úgy kapod meg, hogy az elvett rész+1,5 = fél cukor, fél cukrot megszorzod 2-vel.

Matematikául:

4/5*(X-15)+1,5 = 1/2*X

2*4/5(X-15)+3 = X

(8/5)X-24+3=X

(3/5)X = 21

X = 35

Na ha megértetted volna amit írtam, akkor rájöttél volna, hogy mit néztem be.

1) Bizonyos mennyiségű cukorból elhasználtak 15 kg-ot

Behelyettesítéssel: 35-15=20

Vagyis első lépésben marad 20.

2) majd a maradék ötödét

Vagyis a 20-nak az ötödét ELHASZNÁLOM, de nem ELÖTÖDÖLÖM a maradékot! A 20 ötöde valóban 20/5=4, de ez az amit elhasználok a megmaradt 20-ból. Azaz 20-4 = 16.

A második körben tehát marad 16, nem pedig 4. Ami valójában 3-mal kevesebb, mint a 19, ami a 35-ből maradna, és nem több. Tehát ha jól ellenőrizted volna le a megoldásomat, akkor már beljebb lennél.

Mi volt a te hibád? Az, hogy az „elhasználjuk az ötödét” nem azt jelenti, hogy „marad az ötöde”. Márpedig az osztás azt jelentené. Az „elhasználom az ötödét” azt jelenti, hogy az egész számból kivonom az egyötödét. Öt tojásból, ha elhasználom az ötödét akkor egyet használok el, marad 4.

Mi volt az én hibám? Mivel több maradt mint a fele, ezért kivonni kellett volna azt az1,5-öt. Íme:

4/5*(X-15)-1,5 = 1/2*X

2*4/5(X-15)-3 = X

(8/5)X-24-3=X

(3/5)X = 27

X = 45

Leellenőrzöm:

Első körben marad: 45-15 = 30

Második körben marad: 30-(30/5) = 24

Vagyis ennyit használtunk el: 45-24 = 21

24-21 = 3, azaz tényleg 3-mal több marad.