Valószínűség számítás hogy?

Ennél a feladatnál a klasszikus valószínűségi modellt fogjuk használni: (kedvező esetek száma) / (összes eset száma).

Kezdjük talán a kedvező esetek kiszámolásával: az egyik csoporba 20 emberből választunk 10 embert úgy, hogy a sorrendjük nem számít, tehát (20 alatt a 10)=184.756. csoportot tudunk választani, a maradék ember pedig megy a másik csoportba. Általában nem kellene, de most osztanunk kell 2-vel, mivel ha egy 10-fős csapatot összeállítunk, akkor azzal egy másik 10-fős csapat is képződni fog, és a két csapat között nem teszünk különbséget, így ha az egyikat összeállítjuk, akkor a másik is képződik és fordítva. Ezzel minden szétosztást 2-szer számolunk, ezért szükséges 2-vel osztani: 184.756/2=92.378-féle csapatszétosztás lehetséges. Tehát ennyi az összes eset.

Kedvező eset: azt szeretnénk, hogy A és B külön társaságba kerüljön. Az egyik csapatba válasszuk be A-t, mellé még kell nekünk 9 ember, és ezt a 9 embert 18 emberből kell kiválogatnunk (20-ból lejön A, az 19, és B is, mivel ő nem mehet ebbe a csapatba, így marad 18). Belőlük (18 alatt a 9)=48.620 csapat készíthető. Mivel itt kitüntetett szerepet játszik a két csoport (egyikben A van, a másikban B), ezért itt soha nem fog képződni olyan szétosztás, hogy azok egymást kiegészítenék (A nem fog a 2. csoportba kerülni, mivel úgy számoltunk), ezért ezt nem kell 2-vel osztanunk. Így összesen 48.620 olyan szétosztás van, amiben A és B külön csoportba kerül.

Ezzel a valószínűség: 48.620/92.378=10/19=~0,52631579=52,631579%

Egy egyszerűbb megoldás:

Tekintsük azt a 20 csúcspontú gráfot, melyben A és B akkor van összekötve, ha A és B egy csoportba kerül. A kérdéses esemény az, hogy A és B nincs összekötve. Ilyen módon két 10 csúcspontú teljes gráf diszjunkt unióját kapjuk, ezért a nem kedvező esetek száma 2*Comb(10,2). Mivel a 20 csúcspontú teljes gráf éleinek szám Comb(20,2), adódik, hogy a kérdéses esemény valószínűsége:

1-2*Comb(10,2)/Comb(20,2)=1-9/10.