Hogyan kell bizonyítani az alábbi állítást?

Ha szó szerint vesszük a feladatot, akkor nyilvánvaló, hogy a bizonyítás lehetetlen. A feladat nem mondja meg, mennyire " egyenletes" a kiszínezés. VAn három színünk: kék, zöld, piros. Lehet, hogy 1 darab pont kék, 1 darab pont zöld, és az összes többi - végtelen sok pont -- piros. Ez esetben biztosan nem lesz meg a kívánt 3szögünk.

Ha viszont egyforma gyakoriságúak a színek, akkor jó lenne tudni, mit is értünk az egyformaságon.

Adott egy f: R^2 -> {0,1,2} függvény.

Legyen A(i):={x: x \in R^2: f(x)=i}.

Ekkor R^2=U(i=1..3)(A(i)) és az A(i)-k diszjunktak.

M-mel jelöle egy halmaz (Lebesgue-) mértékét:

M(R^2) = Szum(i=1..3)(M(A(i)))

Következésképpen valamely i-re M(A(i)) > 0, ezért A(i) tartalmaz egy gömböt és ebben a gömbben megadható egy szabályos háromszög.

Sajnos két hibát is elkövettem:

1, egyáltalán nem biztos, hogy az A(i) halmazok mérhetőek

2, nem biztos, hogy egy pozitív mértékű halmaz tartalmaz gömböt pl: [link]

Ettől függetlenül az a sejtésem, hogy ez az állítás jóval általánosabb feltételek mellett is teljesül.

Amúgy attól, hogy ez a probléma 9.-10.-es versenyfeladatban volt, még hozzákezdhetünk matematikailag is. Szerintem a kérdésfeltevő sem 10.-es.