Differenciálegyenletes feladat - hogyan?

Legyen:

T: a holttest hőmérséklete

T0: a holtest hőmérséklete a felfedezés időpontjában

T - T0 = ΔT: a holttest hőmérséklet-változása

t: az idő

t0 = 0: a felfedezés időpontja

t - t0 = Δt: az időváltozás

A holttest hőmérsékletét az idő függvényében a hőmérséklet-változás és időváltozás hányadosával tudjuk megadni; ez nem más, mint a holttest hőmérséklet-változása egységnyi idő alatt, vagyis a hűlés sebessége:

T - T0 / t - t0 = ΔT / Δt

Könnyen belátható, hogy a holttest nem egyenletesen hűl, ezért a fenti hányados határértékét kell venni, amikor az időváltozás (és a hőmérséklet-változás is) tart a nullához; ekkor megkapjuk a hőmérséklet és az idő differenciál-hányadosát:

lim(Δt-->0) ΔT / Δt = dT / dt

Minél nagyobb a holttest hőmérséklete, annál gyorsabban hűl (például egy felforralt fazék víz hamarabb hűl 100 fokról 90-re, mint 50-ről 40-re), így a hűlés sebessége arányos lesz a holttest hőmérsékletével (α az arányosság jele):

- dT / dt α T

A negatív előjel azért kell, mert T pozitív, dT / dt pedig negatív, mert dT negatív.

Ahhoz, hogy az arányosságból egyenlőséget teremtsünk, be kell vezetnünk T mellé egy a hűlés sebességét jellemző tényezőt (ezzel a légkondicionált szoba hőmérséklet adata is feleslegessé válik): legyen ez a k hűléssebességi állandó:

- dT / dt = k T

A fenti differenciál-egyenlet megoldása (nem részletezem):

T = T0 exp(- k t)

A felfedezéskor a holttest hőmérséklete 31 fok, 2 órával később 29 fok; ebből kiszámítható a hűléssebességi állandó:

29 = 31 exp(- k 2)

k = 0,03334

A gyilkosságkor a holttest hőmérséklete 37 fok, felfedezéskor 31 fok:

37 = 31 exp(- 0,03334 t)

t = - 5,3

A gyilkosság a felfedezés előtt hozzávetőleg 5,3 órával, vagyis 5 óra 18 perccel történt.

Érdemes megnézni: ha egyenletes hűlési sebességet feltételeztünk volna, akkor 6 órával korábban (mert 2 óra alatt 2 fokot hűlt) történt volna a gyilkosság, a valós eredményhez képest 42 perccel korábban.

És egy személyes vélemény: azért kellett a differenciál-egyenlet megoldása, mert 42 perc eltérés az események vonalában egy nyomozás szempontjából kritikus hiba forrása lehetne.

A "személyes véleményhez" fűznék egy gondolatot. Azért kell a diff.egyenlet, mert az írja le a folyamatot. Ha más módszert használnánk, az nem a hűlési folyamatra vonatkozna, természetes, hogy hamis eredményt kapnánk.

Egy feladatba mindig az a legnehezebb (és legkritikusabb), hogy helyesen ismerjük fel a vonatkozó szabályokat. Utána már csak azokat kell használni. Itt a döntő az, hogy rá kell jönni: milyen a hővesztés egyenlete - ez a megfelelő hőáramlási egyenlet (törvény) ismertét igényli. Ez pedig itt egy differenciálegyenlet.

(a hőmennyiség testből való kiáramlásának időfüggvényére alkalmazva)

#2: Látom kiigazítani és magyarázni remekül tudsz, a feladatot miért nem oldottad meg?

Nem, nem azért kellett a diffegyenlet, mert az írja le, hanem mert azzal kapunk megfelelő pontosságú eredményt. Elképzelhető olyan eset, amikor a lineáris közelítés is kielégítő, erre utaltam. Amúgy milyen alapon igazítod ki más véleményét, ráadásul 71 %-kal? :)

Kérdezőnek: az még eszembe jutott, hogy lehetséges, hogy a hűlés sebessége nem T első hatványával arányos, ennek azért nézz utána...

Az első hozzászóló megoldása mindenképpen pontatlan, ugyanis a

T = T0 exp(-k t)

egyenletből az következne, hogy elég sokáig várva a holttest hőmérséklete nulla fok közelébe kerülne, ami ugye teljesen értelmetlen. Hosszú távon ugyanis a holttestnek a környezet hőmérsékletét kell felvennie, ami jelen esetben 24 fok.

A helyes gondolatmenet hasonló, azonban a holttest hűlését a környezethez képesti hőmérséklet különbség vezérli:

dT = (Tk-T)*k*dt,

ahol Tk a környezet állandónak tekinthető hőmérséklete (24 fok), k pedig egy (pozitív) arányossági tényező. Ennek megfelelően ha a holttest T hőmérséklete a környezeténél kisebb, akkor dT pozitív, azaz a test melegszik, ellenkező esetben negatív.

Ezt átrendezve kapjuk, hogy

dT/(Tk-T) = k*dt, amelyet integrálva a halál időpontjától (legyen ez nulla) mostanáig:

-ln( (Tk-T)/(Tk-T0) ) = k*t, ahol T0 a holttest kezdeti hőmérséklete (37 fok).

Ebből a megoldás:

T(t) = Tk-(Tk-T0)*exp(-k*t).

Ebben két ismeretlen van, k és t. Ez utóbbi most legyen a megtalálás időpontja. Ez alapján írhatjuk, hogy

(1) 31 = 24 -(24-37)*exp(-k*t)

illetve

(2) 29 = 24 - (24-37)*exp(-k*(t+2))

A 24 mindkét egyenletben átvihető a másik oldalra és az így kapott két egyenletet elosztva egymással a k gyorsan megkapható:

k = 1/2 * ln(7/5) °C/óra.

Az (1) egyenletbe ezt visszahelyettesítve pedig t-t is kiszámíthatjuk:

t = - ( ln(7/13)/ln(7/5) ) óra, ami kb. 1,84 óra azaz kb. 1 óra 50 perc. Ennyivel korábban történt tehát a gyilkosság.

Feltéve, ha a baleset vagy az önkezűség kizárható. :)

Banyek, még egy hiba:

t = -2*( ln(7/13)/ln(7/5) ) óra, azaz kétszerese az előzőnek, vagyis 3 óra 40 perc körül van.

Bocsi. De ez már jó eredmény.

Időközben aztán rájöttem én is, hogy a hűlés sebessége a holttest T és a szoba Tk hőmérsékletének különbségével arányos.

- dT / dt = k (T - Tk)

T0-tól T-ig és t0-tól t-ig intergálunk (t0 = 0):

dT / (T - Tk) = - k dt

∫ 1 / (T - Tk) dT = - ∫ k dt

ln(T - Tk) - ln(T0 - Tk) = - k t - (- k t0)

ln(T - Tk)/(T0 - Tk) = - k t

T = Tk + (T0 - Tk) exp(- k t)

29 = 24 + (31 - 24) exp(- k 2)

k = 0,1682 óra^-1

37 = 24 + (31 - 24) exp(- 0,1682 t)

t = - 3,68 óra = - 3 óra 41 perc

#4 : Abban a "mindenképpen pontatlan" megjegyzésedben a "mindenképpen"-t kicsit szemtelen éreztem, figyelembe véve, hogy az én gondolatmenetemet használtad fel. :)

Kedves előző!

Szemtelenségről szó sincs. A megoldásod egy igen fontos szempontból rossz (azaz egy valódi szituációban teljesen félrevitte volna a nyomozást), ami egy egyszerű diszkusszióval kideríthető lett volna, de te ezt elfelejtetted megtenni. Egy dolgozatban maximum fele pontszámot kapnál rá, mivel csak a lényeg egyik felére jöttél rá: az exponenciális jellegre, de arra nem, hogy ezt mi vezérli. Egy fizika feladat megoldásához az is hozzátartozik, hogy utólag ellenőrizzük, hogy reális eredményt kaptunk-e.

Egyébként pedig nem kéne olyan nagyképűnek lenned. Nem a "te gondolatmenetedet" használtam fel. Fizikusként van annyi gógyim, hogy magamtól is rájövök egy ilyen feladat megoldására.