Differenciálegyenlet - hogyan?

Szép feladat így nyár végén. :)

Az ilyen feladatok tipikusan az infinitezimálisan kis dt idő alatt bekövetkezett kis dV változás kiszámításán alapulnak.

Legyen dV a térfogatcsökkenés mértéke infinitezimálisan kis dt idő alatt. Mivel V=4/3*r^3*pi, ezért

dV = 4*pi*r^2*dr.

Továbbá a felület, A = 4*r^2*pi. Az alábbiakban alfa mindig valamilyen (esetenként különböző dimenziójú) arányossági tényező.

a) dV = -alfa*A*dt, vagyis

4*pi*r^2*dr = -alfa*4*pi*r^2*dt ---> dr/dt = alfa = konstans. Ez pedig egy állandó ütemű változásra utal: r(t) = r0 - alfa*t.

b) dV = -alfa*r*dt, vagyis

4*pi*r^2*dr = -alfa*r*dt ---> dr/dt = -alfa/(4*pi*r)

Ennek megoldása egyébként:

r(t) = négyzetgyök( r0^2 - alfa*t/(2*pi) )

c) dV = -alfa*V*dt, vagyis

4*pi*r^2*dr = -alfa*4/3*pi*r^3*dt ---> dr/dt = -alfa*r/3. Ennek megoldása: r(t) = r0 * e^(-alfa/3*t^2).