Halmazelmélet. Számoljuk össze egy 2n+1 elemű halmaz páratlan elemszámú részhalmazait?

Urbán János - Matematikai logika: I fejezet, 1 feladat

[link]

[link]

Az első képen a feladat van (bal oldalt alul), a második képen pedig a megoldás.

Kezdjük ott hogy a megoldás azzal nyit hogy "mi van ha n=2, tehát háromelemű halmaz". Ha n=2, akkor 2n+1=2*2+1=5, tehát ötelemű halmaz. Jó, mondjuk hogy n=1, ekkor háromelemű.

A bizonyítás "foszlányokban" érthető, de ha az egész gondolatmenetét nézem nem érzem azt hogy tényleg értem. Ugye jelöljük A részhalmazai közül a páratlanokat A1, A2, ..., Ak ill. a párosakat (elemszámokról beszélünk) B1, B2, ..., Bl ezzel nincs gond. Tetszőleges Ai-hez hozzárendeljük az A-Ai halmazt. Ez itt pl eléggé zavaró, mert ha "hozzárendeljük" akkor ez alatt mit értünk? Mert ugye A-Ai valamelyik Bj-vel lesz egyenlő ezt értem. Ha Ak halmazokból tetszőlegesen kiválasztunk kettőt, akkor azok nem lesznek egyenlőek (ha jól értem ezt akarja kihozni azzal hogy ha i1 != i2 (nem egyenlő) akkor Ai1 != Ai2, de ezt nem értem miért kell bizonygatni hiszen csak akkor teljesülne ha az Ak sorozat képzésekor lenne olyan halmaz amit kétszer teszünk bele a sorozatba. Ennek következménye hogy A-Ai1 != A-Ai2 ez nyilvánvaló, de nem értem hogy a bizonyításba ez MIÉRT fontos.

A vége már tiszta, bizonyítottuk hogy k=l, innen k+l=2^2n+1, innen pedig k=2^2n ez oké. Tulajdonképpen ha az lenne a feladat h bizonyítsuk be h k=l (azaz páratlan elemszámú halmazokból ugyanannyi van mint páros) akkor ezt nem értem.

Megköszönném ha segítenétek. Üdv