Hogyan kell megoldani magasabb fokú egyenleteket (n-ed fokú? ) teszem azt a (1) +a (2) x+a (3) x^2+. +a (n) *x^n=0 ahol (n) indexet jelentené?

Negyedfokúig lehet általános képletet adni, tehát eddig minimum vissza kell vezetned az egyenletet, ha használható gyököket akarsz látni belőle.

A norvégok erre rájöttek a XIX. század elején:

[link]

Ha vizuálisabb típus vagy:

https://www.youtube.com/watch?v=RhpVSV6iCko

A negyedfokúig meg simán ki lehet guglizni az általános megoldóképleteket, sőt ha jól rémlik a függvénytáblázatokban is benne van.

Van néhány feltétel amelynek teljesülnie kell, hogy esetleg kezdeni tudjál vele valamit.

A legegyszerűbb ha alacsonyabb rendű polinomok szorzatára tudod bontani a rendezett egyenletet. De legtöbbször nincs ilyen szerencséd.

Úgy általánosságban ha Bring-Jerrard formába erőlteted egy rakat paraméterrel a legtöbb ötödfokú egyenlet megoldható.

De a Laguerre-módszer is elég jó közelítő érték, ha nem létfontosságú hogy dekára pontos legyen az eredmény (ami szinten mindig igaz), akkor érdemesebb ezt használni:

[link]

Amúgy megkérdezhetem, hogy mihez kell a dolog?

Az analítikus módszerek meglehetősen bonyolultak, még a harmadfokú Cardano-formulánál is, nemhogy ötöd-vagy magasabbfokú egyenleteknél.

Egyszerűen ha végigszámol valaki néhány ilyet, rövidesen rájön, hogy matematikailag elegáns ugyan, de egy kínlódás az egész.

A gyakorlatban iterációval oldják meg, ilyen sokféle van, pl. húrmódszer, érintőmódszer, intervallum-felezés, báziscsere-módszer, stb. egyéb.

Most már egyes számológépek tudnak 3-adfokú egyenletet megoldani, szóval azzal is megoldhatod.

Rendelkezésre állnak számítógépes programok, melyekben erre az egyenletre már beépített függvények vannak eredetileg.

Ezek is többnyire iterációkon alapulnak.

Az iterációk előnye, hogy gyors, algoritmizálható, tetszőlegesen pontosítható az eredmény (itt feltesszük hogy az alkalmazott séma stabil), és megbecsülhető a hiba értéke.

De akár pl. excel-táblázatban is viszonylag könnyen megoldhatsz ilyen egyenleteket. (A komplex gyökök kicsikarása bonyolultabb ugyan excelben, de mindig tegyük fel a kérdést, kell-e nekünk a komplex gyök, vagy elég a valós is...)

(Mivel az indexelést elrontottad a konstans tagot a(0)-val fogom jelölni.)

Ha racionális egyenletről van szó, akkor használható az a tétel is, hogy ha p/q racionális megoldása az egyenletnek, akkor p osztja a(0)-at, q pedig a(n)-et. Véges sok törtet kell végigprópálgatni, ha találunk megoldást, akkor a polinomot (x-p/q)-val elosztva az egyenletet 1-fokkal alacsonyabbra redukáltuk.

(Persze minden racionális együtthatós egyenlet egész együtthatóssá alakítható)

Ilyen módon minden (racionális) egyenlet megoldható, amelynek legfeljebb 4 nem racionális gyöke van.