Adott az A (3;0) B (-11;8) C (7;-4) háromszög. Határozza meg a háromszög kerületét. Ezt hogyan kellene kiszámolni?

Ki kell számolni két-két pont közti távolságot.

Tanultuk, hogy minden (a;b) vektor felírható a*_i_+b*_j_ alakban (aláhúzás akar az ott lenni), vagyis az _i_ és _j_ egységvektorok kombinációjaként; az _i_ az x-tengellyel párhuzamos egységvektor, a _j_ az y-tengellyel. Ez a bejárási irány gyakorlatilag akkor, amikor egy pontot ábrázolni akarunk; pl. ha a (3;4) pontot akarjuk ábrázolni, akkor 3-at megyünk jobbra, és négyet fel. Ez matematikai alakban így írható le: 3*_i_+4*_j_. Ha ezt a bejárási irányt megrajzoljuk, akkor egy derékszögű háromszöget kapunk. Mivel az _i_ és _j_ egységvektorok hossza 1 (mint ahogy azt a nevük is mutatja), ezért 3*_i_=3, 4*_j_=4 hosszúságú. Tehát felírható a Pitagorasz-tétel; jelölje c a (0;0) és a (3;4) pontok távolságát, ekkor

c^2=3^2+4^2=9+16=25

c=5, tehát ilyen távolságra van a (3;4) pont a (0;0) ponttól.

Nézzünk két tetszőleges pont közti távolságot, például ami a feladatban van; A(3;0), B(-11;8). Az a kérdés, hogy hogyan tudunk eljutni A-ból B-be úgy, hogy csak a tengelyekkel párhuzamosan léphetünk? Ha felírjuk a két pont közti irányvektort, ami A-ból B-be mutat, akkor gyorsan megkapjuk a választ: AB->=(-11-3;8-0)=(-14;8), tehát 14-et kell balra lépnünk, majd 8-at felfelé, vagyis -14*_i_+8*_j_ alakban írható fel ez a barangolás. -14*_i_ hossza 14 egység (a hossz mindig nemnegatív), 8*_j_ hossza 8, így a Pitagorasz-tétel:

c^2=14^2+8^2=196+64=260

c=gyök(260)=2*gyök(65)=~16,1245 egység hosszú.

A másik két pont távolságát is így kell felírni, aztán ezeket összeadni (elvégre a kerület a háromszög oldalainak hosszösszege).

Általánosan: felírjuk a pontok közti irányvektort (mindegy, hogy az milyen állású), majd az így kapott koordinátákra felírjuk a Pitagorasz-tételt; legyen a két pontunk A(a1;a2) és B(b1;b2), ekkor AB->=(b1-a1;b2-a2), ekkor a vektor hossza:

|AB->|^2=(b1-a1)^2+(b2-a2)^2, vagyis

|AB->|=gyök((b1-a1)^2+(b2-a2)^2), ez az általános képlete a vektor hosszának.

(|AB->| azt jelenti, hogy az AB-> vektor hossza).

Remélem ezek alapján sikerül kibogozni a dolgokat! :)