Létezik olyan n>2 egész, hogy √ (n! ) egész?

Nem létezik.

n/2 és n között lesz legalább 1 prím, - de inkább több is, - első hatványon, tehát a szorzatukból gyököt vonva nem lehet egész.

Csak akkor lehetne, ha n! négyzetszám lenne, azaz, minden prímtényezője páros kitevőn szerepelne.

#5: Ez bonyolultabb kérdés, mint gondoltam volna, de mára bizonyított:

[link]

Ezt Csebisev-tételnek is hívják, és az Erdős-féle bizonyítása nem olyan bonyolult (5-6 sor).

Ha nem sikerül megtalálnotok neten, akkor majd este legépelem.

#4 Tudom mit jelent. Faktoriális, vagyis 36!=36*35*34*...*1

Egy online tudományos számológépen néztem meg. 36!=371993326789901217467999448150835200000000, ennek a gyöke: 609912556675054300000, ami egész szám.

Mivel a többiek azt mondják, nem létezik, lehet, hogy én értelmeztem félre a feladatot. De az is lehet, hogy ők.

#9>

36! =

371 993 326 789 901 217 467 999 448 150 835 200 000 000

609912556675054300000^2 =

371 993 326 789 901 323 559 279 907 948 490 000 000 000

Mint látható a 16. számjegytől kezdve különbözik a kettő. A probléma valószínűleg abból fakad, hogy a számológéped kerekít, csak bizonyos számjegy pontossággal számol. (Én a számoláshoz a BC nevű program egy online implementációját használtam: [link] , ezt kimondottan nagyon nagy egész számokon végzett műveletekre találták ki, ebből fakadóan nincs kerekítésből adódó probléma.)

Amúgy ha prímtényezős alakban írod fel:

36! =

2^34 * 3^17 * 5^8 * 7^5 * 11^3 * 13^2 * 17^2 * 19 * 23 * 29 * 31 =

(2^34 * 3^16 * 5^8 * 7^4 * 11^2 * 13^2 * 17^2) * 3 * 7 * 11 * 19 * 23 * 29 * 31 =

(2^17 * 3^8 * 5^4 * 7^2 * 11 * 13 * 17)^2 * (3 * 7 * 11 * 19 * 23 * 29 * 31)

Ennek a gyöke:

gyök(36!) =

gyök((2^17 * 3^8 * 5^4 * 7^2 * 11 * 13 * 17)^2 * (3 * 7 * 11 * 19 * 23 * 29 * 31)) =

gyök((2^17 * 3^8 * 5^4 * 7^2 * 11 * 13 * 17)^2) * gyök(3 * 7 * 11 * 19 * 23 * 29 * 31) =

(2^17 * 3^8 * 5^4 * 7^2 * 11 * 13 * 17) * gyök(90751353) =

(2^17 * 3^8 * 5^4 * 7^2 * 11 * 13 * 17) * 9526,3504…

Ebből az életben nem lesz egész szám, mivel a gyök szükségszerűen irracionális szám…

Egy szám – mint írták fentebb – csak akkor lehet négyzetszám, ha a prímtényezőkre bontásban minden prímszám páros hatványon van. Ez csak úgy lehetséges, hogy n/2 után nem jön egyetlen prímszám se, hiszen ha jön, akkor az az első hatványon lesz, és előtte nem fordul elő, a kétszerese meg már nincs benne a faktoriális szorzótényezői között… A 36 azért nem jöhet szóba, mert 18-tól 36-ig van több prímszám is: 19, 23, 29, 31