Mi történik, ha a nevező nulla?

:-) Ugyanaz történhet mint ha a négyzetgyökjel alatt -1 van...

Ilyesmiken én is eltökölődtem régen, s mert szimpi a kíváncsifáncsiságod elmesélem mire jutottam...

A közhiedelemmel ellentétben a matek is meglehetősen önkényes tudomány... tetszőlegesen lehet definiálgatni dolgokat és meg is teszik, ha az valamiért célszerűen használható a fizikai valóság leírására és kiszámítására...

A matek egy elvonatkoztatás (absztrakció).

Amikor megnézed hogy mi a közös abban, ha 2 elefánthoz hozzáadsz egyet illetve két makkhoz hozzáadsz egyet, elvonatkoztatod a fizikai valóságból az elefántot és a makkot és azt kapod, hogy számosság tekintetében ugyanúgy viselkednek és úgy írod le elvont formában, hogy 2+1=3.

Hasonlóképp, ha a számoláshoz kavicsokat használsz, akkor modellezed az absztrakciót és feltaláltad a számoló/számítógépet.

Namármost a számokat úgy találták ki, hogy megváltoztatták valaminek a számosságát és adtak az új számnak egy nevet.

Kezdetben vala a semmi és a valami az egyiket 0-nak a másikat 1 nek nevezték. És még egy művelet amivel a dolgokat egymáshoz lehet adni nevezzük + -nek.

Ebből kiindulva felépítheted az egész számrendszert.

Azt mondod legyen a 2 az a szám amit úgy kapunk, hogy az 1 adunk még 1-et.

A 3 meg az amikor a 2-höz adunk még 1-et. És lőn este és lőn reggel ily módon megteremtetted vala az természetes számokat.

Majd azt mondtad kell ez visszafele is... legyen a - az a művelet mellyel 3-1 az az X szám amihez ha ha 1-et adok 3-at kapok. Persze már van ilyen hiszen ez a 2.

De valakinek eszébe jut, hogy mi van, ha 2-3 ? Az milyen X szám ? Neveztessék -1-nek - és így tovább... lőn estve és lőn reggel : megvannak a negatív egséz számok.

Mondhatná az ősember minő badarság - 2 almából 3-at elvenni nem természetes... ámde valamihez képesti magasságot és mélységet leírni alkalmas...

Majd mondja valaki sokszor ugyanazt összeadni fárasztó leírni. legyen a-szor b olyan b tényezőjű összeg melynek minden tényezőja a - 3x4 az 3+3+3+3=12

Szuper. Ám valakinek megint eszébe jut megfordítani : a 12/4 jelentse azt az X számot melyet megszorozva 4-ggyel 12 kapunk. Ez a szám a 3... de mi van, ha a szám nem osztható ?

Pl 5/6 ? ez is olyan szám amit 6-tal szorozva 5-öt kapunk... és már meg is vannak a hányadosként felírható (tört) racionális számok...

És itt jön a kérdés mi van ha 0-val osztok ?

Nincs olyan szám amire igaz volna, hogy 0-val visszaszorozva megkapom amit elosztottam. Nincs olyan 5/0=X szám amire igaz, hogy Xx0=5... legalábbis az eddig definiált számok halmazán nincs esedmény.

Van azért egy kivétel: a 0/0 bármi lehet, mert bármit 0-val szorozva visszakapom a 0-t :-)

Itt be is fejezhetnénk mert megvan a válasz...

De mégse... Megint jött valaki aki azt mondta fárasztó ugyanannak a számnak a többször önmagával szorzását leírni...

Legyen a az n-diken olyan n tényezőjű szorzat melynek minden tényezője a. a a 3.-on az axaxa...

Szuper mindenki örül.

De valaki megint azt mondja kéne a fordítottja is legyen c az n. gyök alatt az az X szám, amit ha n. hatványra emelünk (X az n.-en) visszakapjuk c vagyis 25 a második gyök alatt az 5 mert 5 a négyzeten 5x5 az 25...

De jön a kisördög és mi van, ha -25 van a 2 gyök alatt ?

Erre megint azt lehet mondani ilyen nincs, mert negatív szám önmagával szorozva pozitívot ad... általánosan páros gyök alatt negatív szám nem értelmezhető (megintcsak az eddig ismert számok halmazán).

De jött valaki, hogy kéne. És mondá a 2. gyök alatt -1 legyen az i szám mint imaginárius egység amire mégis legyen igaz, hogy i a 2.-on az -1 !

Önkényes ? önkényes. Furi ? Akár az ősebernek a negatív szám. Mire jó ? Pl az elektrotechnikában az impedancia leírására (ohmos kapacitív-induktív összetevőjű) ellenállás - tehát a valóság leírására aklalmas elvonatkoztatás - komplex számok - imaginárius és valós összetevővel.

Na most jön az utolsó kérdés... nem lehetett volna hasonlóképpen azt mondani, hogy akkor meg at 1/0 legyen az a z szám/egység amire igaz az hogy 0xz =1 ?

Szerintem lehett volna. Egyszer el is játszottam ugyanazt a bevezetést mint ahogy azt az imaginárius /komplex számokra megcsinálták) mindenféle művelettulajdonság kiterjesztéssel kommutativitás, asszociativitás,disztributivitás. Lehetne neki nevet adni és használni ha volna mire. Hogy miért nem ez és miért épp a gyök mínusz egy ? Jó kérdés... sőt: ez ez igazi kérdés...

Mindenesetre mint látjátok: lehet "teremteni" a matematikában...

Még egy apróság - az érdekesség kedvéért - ami kimaradt - túlságosan a 0-val osztásra koncentráltam...

Érdekes az, hogy mindig a műveletmegfordításkor bővül a számkör... olyan számból vonok ki olyan számokat amiket előtte nem adtam össze ->negatív számok, olyan számot osztok olyan számmal amivel előtte nem szoroztam amit osztok ->törtek(racionális - hányadosként felírható számok) az eredmény...

a gyökvonásnál is vonghatok gyököt olyan számból ami előtte nem az addig ismert számok hatványozásával keletkezett... 16-ból négyzetgyök a 16 a 4x4 ből lett de például a négyzetgyök 3 miféle szám ?

Bizonyítható hogy olyan szám ami nem írható föl két szám hányadosaként - irracionális tehát ...

Vagyis, ha húzok egy számegyenest, bejelölöm az összes egész számokat, az összes törteket - még mindig nem alkot összefüggő vonalat... lyukak vannak benne... az irracionális számok, a hányadosként nem felírható számok... azzal együtt lesz összefüggő a számegyenes...

Ehhez képest az imaginárius számok ezektől független számegyenesen vannak a közös pontjuk csak a semmi a 0...

Olyan ez a matematika, találj ki bármit bármit definiálhatsz teremthetsz a lényeg, hogy logikailag ellentmondásmentes legyen és ha találsz a dologhoz egy valóságot amit leírhatsz vele - mint az imaginárius egység - komplex számok - életre kel.

Ami azt illeti - az én magánvéleményem szerint - a gyök -1 a másodfokú egyenlet megoldóképletének "feltalálása" után valamelyest adódik, mint lehetőség, mert nem vezet ellentmondásra - minden gond nélkül lehet vele ugyanúgy számolni, mintha "normális" szám lenne. Viszont néhány embert csúnyán megégettek miatta... Habár:

[link]

A nullával való osztás kicsit másféle, sokkal távolabb áll az ellentmondásmentességtől, sőt. A határértékszámítás szempontjából nézve, ha egy tört számlálója állandó, akkor a tört értéke annál nagyobbá válik, minél közelebb van a nevezője abszolút értékben a nullához. Erre a minden határon túl való növekedésre, pontosabban ennek a nemlétező "határértékére" bevezethetünk egy szimbólumot, és elnevezhetjük "végtelen"-nek, jelölhetjük is "vizes nyolcassal". Ha viszont a számláló nem állandó, akkor más a helyzet, de erről már írtak az előttem szólók. Aztán attól függően, hogy a számegyenesen jobbról vagy balról közelítünk a nullához, írhatunk fektetett nyolcasunk elé pluszt vagy mínuszt.

Viszont ha bejön a képbe az fent említett képzetes barát is (mármint a gyök -1) és a "sztereografikus" leképezés, akkor kiderül, hogy végtelenből is csak egy van, mint nullából, semmi előjel.

És ha ennek az egésznek fizikai alkalmazást próbálunk adni, ahogy ezzel Einstein próbálkozott, akkor ebben az esetben a nevező nullához való közelítése a Fekete lyukhoz való közelítés valamiféle analógiája.

Hogy Isten osztott-e nullával vagy sem, az egyelőre még az Ő titka marad...

:-) Tetszik ... és lehet benne valami. Már nagyon rég nem foglalkoztam a 0-val való osztás kérdésével és mostanában kijövök a valós számokkal is úgyhogy nem valószínű hogy mostanában elmélyedek az imaginárius kérdésben - annak idején bár magtettem, de a határértékesdi kimaradt a látókörömből.

Ezek olyan dolgok ahol az ellentmondásmentesség már nem egyértemű... a végtelen a végtelenül kicsiny de még nem nulla, az "első elpattanó egyenes" és más finomságok már a matematika filozófia :-)

Hogy miket teremtünk és miket nem illetve hogy nem tekintünk ellentmodásnak ellentmondásokat varázsszó:"szemléletből".

A matematika egy nagy játszótér.

De szerencsére az emberek többsége - én is nagyjából belefér a valós számok körébe, akinek kell komplex számolhat - és akinek az sem elég: filozofálhat.

Az már nagyon nagy dolog és előrelépés lenne, ha mindenki - úgyis mint közösség (!) - szoros barátságban élne a 4 alapművelettel + a kamatyos kamatszámítással, hogy arra szakosodott intézmények el ne kamatyolják a jövőjét, az életét, különben előbb-utóbb fütykösvívás műfajában leszünk kénytelenek egyenlíteni a számtani hiányosságokat az életösztön küldetés parancsolatának okán, aminek persze nagyon is megvan az igazságosságalapja, csak sajnos annak is fájdalmas akinek igaza van. :-)

Ída fajulnak a dolgok, ha egy közösségben a közös nevező NULLA individualizmus és liberálisan értelmezett igazságosság okán.

Szóval ha a nevező nulla az a kisebb gáz, de ha a közös nevező nulla az az aztán tényleg nagy gáz: végtelenbe nyúló szívás mindenkinek kollektíve...

Az igazságok nem múlnak el - ráérnek megvárni, hogy felismerjék őket. A tanuló az aki nem ér rá: véges az ideje az élete, de ha neki nem drága... az igazság az ráér.

"És mondá a 2. gyök alatt -1 legyen az i szám mint imaginárius egység amire mégis legyen igaz, hogy i a 2.-on az -1 !

Önkényes ? önkényes."

Bocs, dehogy az. A j az egy egységvektor, aminek a szöge 90 fok, tehát szorzásnál 90 fokot forgat - két szorzással, azaz egy négyzetreemeléssel eljutunk a negatív valós tengelyre.

A másik út ide eljutni például a komplex számok gyökvonásának értelmezése. Az n-edik gyökök az origó középpontú n oldalú sokszög szögpontjai.

@Strogoff:

De önkényes :-) Önkényes az, indulsz-e és merre, nem önkényes az, hogy hova jutsz.

A "j" (vagy i - kinek hogy tetszik) az magától nincs és nem is forgat semmit sehova.

Onnan van hogy azt mondád legyen és felruháztad néhány axiomatikus tulajdonsággal. Attól kezdve életrekel (lesznek következménytulajdonságai) és levezethetsz felépíthetsz belőle egy új "dimenziót".

Aztán már forgat is, ha úgy tetszik.

Ehhez egyébként nem feltétlenül kell a j - vektorokkal ugyanígy műkszik a dolog - semmi szükség ahhoz, hogy az az egység a négyzetgyök -1 -gyel legyen bevezetve.

Ez egy célszerű kibővítése a számhalmaznak, de simán meg lehet lenni nélküle vektorszámolással a -1-en gyökvonással erőszaktevés nélkül is.

Kinek mihez van kedve.

A matematika egy nagy játszótér :-)