MATEKOSOK! Igazoljuk, hogy létezik két olyan hasonló, de NEM egybevágó háromszög, amelyek megegyeznek két-két oldalában! Hogy kell?

Legyen pl.:

1. háromszög: a=3, b=4, c = (4/3) * 4 = 16/3

2. háromszög: b=3, c=4, a = 3 / (4/3) = 9/4

azaz, az oldalak hossza mértani sorozat q = 4/3 = c/b = b/a

q más is lehet: 0,6180339887... < q < 1,6180339887...

(de egyik oldal sem lehet >= a másik kettő összegénél)

Másképp, a háromszögek oldalai:

a, a*q, a*q*q, a*q*q*q sorozat 1.-3. ill. 2.-4. tagjai

Az első válaszoló eléggé semmitmondót írt. A második jobbat. A hasonlóság azt jelenti, hogy a megfelelő oldalak hányadosa egyenlő. No most, ha két-két oldal megegyezik, de nem egybevágóak, az csak úgy lehet, hogy az egyik háromszög harmadik oldala a másik háromszög egyik oldala. Legyen az egyik a, b, c, a másik A, B, C, továbbá a megfelelő szögeik egyenlőek, és legyen B=a valamint C=b. A hasonlóság feltétele szerint a/A=b/B=c/C, amibe beírva az adatokat a/A=b/a=c/b. Eszerint b^2=ac, ami a valós számok halmazán megoldható, itt még vizsgálni kell, hogy mikor teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Ha megvan, akkor az előzőek miatt a hasonló háromszög is létezik.

A háromszög-egyenlőtlenség pedig jelen esetben a mértani és a harmonikus közép közötti egyenlőtlenségre vezet, azaz minden esetben teljesül. QED

Legyenek a két háromszög oldalai: (szerkeszd meg!)

4, 6, 9

6, 9, 13.5

Láthatod hogy hasonlóak, de NEM egybevágóak.

A 2.-nak minden oldala 1,5-szerese az 1.-ének.

Ugyanakkor megegyezik két-két oldaluk hossza.

(A közoktatás/házi feladatok rovatba írj, a tanárok ott majd elmagyarázzák)