Hogyan lehet bizonyítani azt hogy ha a, b, c egész számok és a+b+c= (a-b) (b-c) (c-a) akkor a+b+c osztható 27-el?

Hármas maradékokra vizsgálódva megkapod, hogy milyen esetekben fordul elő, hogy a szorzat 27-tel osztható.

Megpróbálod megszűri a maradékosztályokat aszerint, hogy az egyenlőség fennállhat-e.

Ezekből megpróbálod összerakni a megoldást.

vegyünk egy egyszerű esetet amely megfelel a fenti állításnak:

(a-b)(b-c)(c-a)=0

Ez akkor igaz, ha (a-b) v (b-c) v (c-a) = 0

Ez akkor igaz, ha a 3 szám közül legalább 2 megegyezik.

ilyen lehet az első által említett 0,0,0 is, de ez az egyetlen, amikor 3 egyforma számra igaz az állítás feltéve hogy a+b+c= (a-b)(b-c)(c-a).

a+b+c = 0 és a fentiekből a=b -> 2a+c=0. ez akkor igaz, ha 2a=-c.

Ha ez a lehetőség fennáll, akkor minden számra igaz, hogy osztható 27-tel, de akár minden számmal is.

/pl: -2,-2,4 vagy -6,3,3 számhármasok/

hozzáteszem, ez nem végleges megoldás, mert pl: 15,18,21 v 138,144,150 v 1140, 1152, 1164-re is megáll az állítás.

/18-at mindig szorzod 8-cal és közben 3-at, 6-ot- 12-t, 24-t levonsz illetve hozzáadsz a számhoz/

Mindenesetre ha meglesz a megoldás, másold már be légyszi...

Ha a két azonos szám nem 0 maradékú, akkor az egyenlőség nem teljesülhet, mert a jobb oldal osztható hárommal, a bal nem. Tehát a két azonos számnak hárommal oszthatónak kell lennie.

Ha három szám egyezik, akkor a jobb oldal 27-tel osztható. Ekkor a bal oldalon is 27-tel osztható számnak kell állnia. Az 1-es és a 2-es maradék nem felel meg, mert az összeg nem lesz 9-cel osztható.

A végén kiderül, hogy tényleg mindhárom szám nulla.