Halmazok. Hány olyan 250-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely nem osztható sem kettővel, sem öttel, sem héttel?

A kérdés megfordítható. Hány olyan szám van, ami osztható 2-vel, 5-tel vagy 7-tel? Ha ezt meg tudjuk mondani, akkor tudunk válaszolni a kérdésre is.

Legyen három halmaz. K legyen a kettővel osztható számok halmaza, O az öttel oszható számok halmaz H a héttel osztható halmaza.

Lesznek számok, amik csak az egyik halmazban lesznek benne. Pl. a 4 kizárólag kettővel oszható, öttel, héttel nem. Lesznek, amik két halmazba is beletartoznak. Pl. a 10 oszható lesz kettővel, öttel, de héttel nem. Lesznek amik mindhárom halmazba beletartoznak, pl. a 70 osztható mindhárom számmal.

Ki tudjuk számolni, hogy hány eleme van az K halmaznak. 1-től 250-ig minden második szám itt lesz: 2,4,6,8,10,… Tehát K halmaznak 125 eleme van.

O halmaznak 250/5 = 50 eleme lesz.

H halmaznak 250/7 = 35 eleme lesz.

Ezekben benne van minden olyan szám is, ami esetleg másik halmazban is szerepel, tehát ki kell számolni, hogy hány eleme van a halmazok metszetének.

K⋂O⋂H -nek azok a számok lesznek elemei, amik 2*5*7-el, azaz 70-el oszthatók. Ez 250/70 = 3 elemet jelent {70,140,210}

K⋂O -nek azok a számok lesznek elemei, amelyek 2*5-el, azaz 10-el oszthatók. Ennek 25 eleme lesz, amelyből 3 elem egyben K⋂O⋂H metszetnek is eleme.

Hasonlóan:

K⋂H -nek 17 eleme lesz (ebből 3 eleme K⋂O⋂H metszetnek is)

O⋂H -nek 7 eleme lesz (ebből 3 eleme K⋂O⋂H metszetnek is)

A három halmaz uniójának elemszámát úgy kapjuk, ha összeadjuk a halmazok számát olyan módon, hogy a duplán történő beleszámolást kompenzáljuk.

125+50+35

Ebből K⋂O\H elemeit kétszer számoltuk bele, így ezt ki kell vonni. (Ez 22 számot jelent)

A K⋂H\O elemeit is kétszer számoltuk bele, így ezt is ki kell vonni. (14 számot.)

A O⋂H\K elemeit is kétszer számoltuk bele, így ezt is ki kell vonni. (4 számot.)

A K⋂O⋂H elemeit viszont háromszor is beleszámoltuk (3 darab számot), így ezt ki kell vonni.

Tehát K⋃O⋃H elemeinek száma: 125+50+35 - 22-14-4 - 2*3 = 164

A többi szám a 250-ből egyik számmal sem osztható, tehát az eredmény 250-164=86.