Matekosok, erre a törvényszerűségre van szabály?

1 + 3 + ... + (2n + 1) =

= (1 + 2n + 1) * (n + 1) / 2 (első szám + utolsó szám) * tagok száma /2)

=

2(n + 1)(2 + 1)/2 = (n + 1)(n + 1)

Ez egy négyzetszám.

Ezt elég nehéz elhinni... Ez egy egyszerű számtani sorozatos feladat, amire van összegképlet és ki is tudjuk vele számolni, amit az előző hozzászóló meg is írt (azért számtani sorozat, mert a_1=1, és tetszőleges a_n és a_(n-1) különbsége: d=2).

Szemléletesen (hogy lássuk, mégis miért van így): vegyük az egység négyzetet, ekkor 1=1 négyzetszám. Ehhez tegyünk hozzá 3 egységnégyzetet "L" alakban, így egy 2*2-es négyzetet kapunk, láss csodát, 1+3=4. Ehhez a négyzethez már 5 egységnégyzetet kell raknunk, hogy a 3*3-as négyzethez jussunk, és 1+3+5=9 ki is jön. Általánosan:

tegyük fel, hogy n*n-es négyzetig igaz. Nézzük n+1-re: az előző négyzet két szomszédos oldalához n+n=2n egységnégyzetet kell raknunk, de még ekkor a "csücsök" kimarad, oda is kell raknunk egy egységnégyzetet, hogy n+1-es oldalhosszú négyzetet kapjunk, ekkor n^2+2n+1 darab egységnégyzetet pakoltunk le, ami pontosan egyenlő (n+1)^2-nel, mivel (n+1)^2=(n+1)(n+1)=n^2+n+n+1=n^2+2n+1, tehát egy újabb négyzetszámhoz jutottunk.

Ezt a fajta bizonyítást teljes indukciónak nevezzük.

Mint az előző, picit másképp:

(n+1)^2 - n^2 = 2n+1 ; azaz a szomszédos négyzetszámok különbségei a páratlan számok. n=6 :

1+3+5+7+9+11=36

1+3+5+7+9+11+13=49

Fizikában: egyenletesen gyorsuló mozgás

s = a/2 * t^2

Az egyes másodpercekben(időintervallumokban) megtett utak úgy viszonyulnak egymáshoz,

mint a páratlan számok, 1:3:5:7...

(négyzetszámok - ill. többszöröseik - különbsége)

> Pedig hidd el.

Szerintem valamire rosszul emlékszel. Ezt már a görögök is tudták. Kis illusztráció #4-hez: [link]

Sőt Nikomakhosz (i.u. I. század) már a páratlan számok és a köbszámok között is talált összefüggést. Felírta a páratlan számokat: 1 3 5 7 9 11 13 15…

Ezeket aztán 1, 2, 3, stb… csoportra bontotta:

(1),(3,5),(7,9,11),(11,13,15,17),…

1 = 1 = 1^3

3+5 = 8 = 2^3

7+9+11= 27 = 3^3

13+15+17+19 = 64 = 4^3

21+23+25+27+29 = 125 = 5^3

31+33+35+37+39+41 = 216 = 6^3

Ez érdekesebb:

(1+2)^2 = 1^3 + 2^3

(1+2+3)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3

(1+2+3+4)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3

...