Határértékszámítás módszerei?
Nah szóval , szeptembertől valószínüleg mérnöki szakon fogok tanulni , és ezért már most nyáron igyekszem átnézni pár dolgot , de főleg a határértékszámítást , majd a deriválást. Középsikolában nem tanultuk egyiket sem , középszintű érettségim 5-ös lett , tehát ha mondhatni az alapokkal úgy érzem nincs gondom. Ehhez be is szereztem egy pár könyvet Bolyai könyvsorozat : differenciálszámítás , integrálszámítás(bár ez még bőven nem aktuális) meg Obádovics J. : Matematika , alap szinten az is foglakozik ezekkel a dolgokkal.
A bolyaisba csinálom most a feladatokat , már kb. 2 napja , és már sikerült viszonylag nehezebbeket is megoldanom benne , de mégis van , mikor egyszerűen nem tudom mit kéne csinálni , kell-e még vmit csinálni vagy ott a vége. (határértékszámításról van szó!) Azt szeretném főleg tudni , hogy egy adott feladatot csak egyféleképpen lehet megoldani vagy többféleképpen is. Adná magát , hogy többféleképpen is , de amikor eddig magamtól máshogy csináltam mint a könyv , akkor valahogy sose jött ki a végén , és kezdtem úgy érezni , hogy csak úgy lehet. Le tudnátok írni,hogy melyik tipusnál , mit , hogyan kell csinálni. Gondolok itt olyanokra , hogy pl. A könyvben a sorozatok határértékénél ha tört van , akkor mindig a számláló vagy nevező(attól függ melyiknek a kisebb) fokszámú tagját emeljük ki , meg hogy az ilyen gyökös kifejezéseknél szinte mindig beszorozzuk úgy , hogy (a+b)*(a-b) alakot kapjunk , meg ilyesmik.
Jah meg még ami nagyon fontos , honnan lehet tudni , hogy tovább nem kell alakítani és beírható a kifejezésbe a független változó ? Leginkább ez érdekelne , mert sokszor van , hogy nem tudom , hogy kell-e még vmit csinálni vagy elég. Van erre a határértékszámításra egyáltalán vmi konkrét "recept" amit ész nélkül lehet nyomatni , vagy mindig valami speciális eset van ? Remélem minél hamarabb sikerül rendesen elkapni a fonalat..
Kösz a válaszokat!
válasza: válasza:Az emelt-szintű középiskolai feladatok egy részét itt megtalálod kidolgozva:
Ha konkrét feladatot írsz ki, abban is segítünk.
Köszi a válaszokat ! Igazából épp az , hogy nem konkrét feladat kellene , hanem általános eljárások , amolyan alapszabályok , tipusfeladatok ilyesmik , amikkel jó eséllyel meg lehet oldani az esetleges feladatokat , már ha egyáltalán léteznek ilyenek , mert eddig könyvekben meg neten se igazán találtam ilyeneket :\
Ami a legnagyobb problémám , hogy azt nem sikerül sokszor eldöntenem , hogy ha behelyettesítek és kijön mondjuk 0/0 alak akkor az jó (mert van hogy tényleg annyi jön ki) vagy kell-e még tovább menni , és akkor más jön ki.
válasza:Általános eljárásokhoz ott vannak a tankönyvek, e hely ahhoz nem elegendő. De szerintem nem is ez a problémád. A határértékfogalom, egy nehéz absztrakt fogalom, amelyet a végtelen fogalma nélkül nem lehet megérteni.
Ketté kell választani a sorozatok (sorok) határértékét a függvényekétől. Függvénynek lehet határértéke véges változó esetén is. A sorozat (sor) határértéke a függvény végtelenben vett határértékéhez hasonlítható.
Megkülönböztetünk véges és végtelen határértéket.
Végesben vett véges határérték azt jelenti, hogy ha előre megadsz egy bármilyen pici epszilon számot, akkor tudsz mondani egy másik kis delta számot úgy, hogy ha a változók értéke csak a véges helytől csak deltányira tér el, akkor a függvényértékek a határértéktől csak epszilonnyira. Itt tehát a konkrét függvény segítségével azt kell megmutatni, hogy minden epszilonhoz van delta.
Végtelenben vett véges határértéknél pedig azt kell megmutatni, hogy bármilyen epszilonhoz tudunk mondani egy olyan véges változó értéket (sorozatnál indexet), amelytől nagyobb (mínusz végtelennél kisebb) változókra mind teljesül, hogy a ott a függvényérték epszilonnál közelebb van a határértékhez.
Végtelen határértéknél pedig azt kell bebizonyítani, hogy akárhogyan is adunk meg tetszőleges véges számot, van olyan küszöb, ami után minden függvényérték (sorozatérték) nagyobb, mint a szám. Ha a határérték végesben van, akkor ez a küszöb egy olyan kis delta, aminél, ha közelebb vagyunk a véges értékhez, akkor igaz az előbbi. Ha a határérték végtelenben van, akkor ismét egy olyan véges változó (index) értéket tudunk adni, hogy onnantól az értékek már nagyobbak az iménti számnál.
Hogy ezt konkrét esetben hogyan lehet kimutatni, a technikák függvény, illetve sorozattípusoktól függenek. Általában több megoldás is van, de sok esetben egy triviális, a többi megoldás vagy nagyon bonyolult, vagy magasabb matematikai eszköztárat igényel.
Klasszikus megoldási módszerek a direkt bizonyítás, az indirekt bizonyítás (azt mutatjuk meg, ha más értéket tételeznénk fel, mindig hamis lenne az eredmény), és az úgynevezett teljes indukció (egy esetre nyilvánvalóan igaz, és megmutatjuk, hogy ha egy indexre igaz, akkor a következőre is igaznak kell lenni).
válasza:Kösz , a 0/0 példa meg tényleg rossz , elnéztem , természetesen nincs ilyen a könyveben , arra gondoltam , hogy sokszor van olyan , hogy ugye behelyettesítünk és az eredmény ugye nulla , meg ha rendesen határértéket számolunk akkor is 0 , ezt kicsit bosszantó néha számomra :D
Egyébként , úgy vettem észre , hogy azért lassan , de egyre jobban megy. Kicsit másabb mint az eddigiek , rá kell érezni rendesen , utána sztem menni fog.
válasza:Sok esetben van, hogy meg kell sejteni a sorozat határértékét.
Nagyon jók azok a könyvek, amiből gyakorolsz, csak így tovább. Amik a bólyai könyv elején vannak igazából azok az alaptipusok.
Vannak pl. 0/0 tipusú sorozatok, amit említettél, ott még egy járható út az L'Hospital szabály.
Sorozatok határértékénél ez a következőképp alkalmazható:
1. Megfeleltetsz a sorozatnak egy függvényt, amely már folytonos, más változókat használva persze.
2. És magát a függvény határértékét vizsgálod az adott helyen.
Deriválod a számlálót és nevezőt... ez is valahol a fv.-eknél le van írva a könyvbe.
3. És ha a fv. határértékét már kiszámoltad a keresett helyen, abból már következik, hogy az eredeti sorozatnak is annyi a határértéke.
(Tudom, ehhez deriválni kell, de azt meg majd folyamatosan megérted, nem nehezebb, mint a másodfokú megoldóképlet...)
Bonyolultabb sorozatoknál (soroknál) alkalmazható módszerek:
Ha nem sikerül célra jutni az ismert módszerekkel:
Ekkor becslést végzünk: Keresünk egy sort, ami alúlról, egy másikat ami a felűlről becsli, ha a kettő határértéke megegyezik, akkor a közrefogott sor is oda tart, ahova a másik 2. (Rendőr-elv).
Még említenék egy hasznos módszert:
Ha sehogysem sikerül megoldásra jutni:
Akkor az x helyébe be kell helyettesíteni egy jó nagy számot (ha végtelenben a kérdés) beütni a számológépbe.
Ez már egy jó sejtést adhat, melynek ismerete talán ötletet ad a megoldáshoz vezető útra.
(Mert ha korrektek vagyunk, ez még nem megoldás, viszont egy jó sejtés( matematikusok nem szeretik)).
Remélem segítettem valamennyit.
Igen,segítettél,köszönöm! Igazából az alap tipusokkal szeretnék így nyár végére tisztában lenni, határértékszámításnál meg deririválásnál is, csak,hogy ne legyen tök idegen az egész meg jobban fel tudjam venni a tempót. Egyébként már január óta nézegettem a témákat, akkor inkább az elméletet,de most már példákat csinálok. Lassan úgy érzem elkapom a ritmust :)
Kösz a válaszokat !
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!