Ha egy téglalapnak és egy négyzetnek ugyan akkora a kerülete, akkor a területük is megegyezhet?

Legyen a négyzet oldala "a" , a téglalap oldalai "a+b" és "a-b" , b<a, akkor a kerületük =.

A négyzet területe a*a, a téglalapé (a+b)*(a-b) = a*a-b*b, tehát kisebb.

Legyen a négyzet oldala: a, a téglalap oldalai pedig: x és y hosszúságegység. A kerületük egyenlő, ezért

4*a=2*(x+y), azaz y=2*a-x. A négyzet területe: a^2, a téglalapé: x*y=x*(2*a-x)=2*a*x-x^2 területegység. Vizsgáljuk meg, hogy milyen feltételek mellett lehet a két terület egyenlő!

a^2=2*a*x-x^2, azaz a^2-2*a*x+x^2=0, vagyis (a-x)^2=0, ez pedig pontosan akkor igaz, ha x=a, s ekkor y=a.

Tehát azonos kerületű téglalap és négyzet területe pontosan akkor egyenlő, ha a téglalap is négyzet, és ekkor a két alakzat egybevágó.