Mi az integrálja az 1/sinx függvénynek?

A primitív függvény

ln(tg(x/2))+c.

Az improprius integrál az adott szakaszon pedig végtelen.

integrál (1/sinx)-re először alkalmazzuk az x=2t helyettesítést:

integrál (1/sinx)= 2*integrál (1/sin2t) =

=2*integrál(1/(2*sint*cost))=

=integrál(1/(sint*cost))=

(a számlálót és a nevezőt is osztjuk cos^2(t)-vel)

=integrál((1/cos^2t)/(sint/cost))=

=integrál((1/cos^2t)/(tg t))=

(itt f'/f alakú az integrál)

=ln(tg t)+c=

(visszahelyettesítünk t helyére x/2-t)

=ln(tg(x/2))+c.

Ha t tart 0-hoz, akkor tg(z/2) 0-hoz tart, ln pedig a 0-ban jobbról -végtelen-hez tart. Ezért lesz az improprius integrál értéke +végtelen.

Az ilyen típusú integrálok t=tg(x/2) helyettesítéssel fejthetőek meg, mert ekkor x=2*arctg t, dx=2/1+t^2 dt és sin x=2t/1+t^2. Mindezeket helyettesítve és rendezve INT 1/t dt marad az integrál, ami nyilván az ln|t|+C primitív függvényre vezet, azaz t helyére a helyettesítést visszaírva ln|tg(x/2)|+C lesz.

Jöhet a határozott integrál, azaz a Newton-Leibniz-szabály, ami azt mondja, hogy F(b)-F(a), ahol is F(x)=ln|tg(x/2)|, b=pí/2 és a=0. Nézzük előbb a felső határt, itt semmi gond nincs, mert tg(pí/4)=tg 45°=1, és ln 1=0. A "gond" az alsó határral van, mert ha x->0, akkor tg x/2->0, és ugyanekkor ln x->-végtelen. Tehát azt kaptuk, hogy 0-(-végtelen)=végtelen. Az improprius integrál tehát divergens.