Leírná valaki a függvény folytonosságát nagyon egyszerűen néhány példával?

Akkor folytonos egy függvény, ha le tudod úgy rajzolni, hogy nem emeled fel a ceruzát.

A legtöbb függvény, amivel eddig találkoztál, ilyen. Az összes lineáris függvény, sin(x), x^2 stb.

A tg(x) pl. nem folytonos, pi/2-nél fel kell emelned a ceruzát.

Vagy definiálhatunk olyan függvényt is, hogy pl:

f(x)=1, ha x>=0,

f(x)=0, ha x<0

Ez sem folytonos, itt 0-nál kell felemelned a ceruzát.

Ahogy a fenti példákból látszik, legtöbbször az is fontos, hogy egy függvény HOL nem folytonos. A már emlegetett tg(x) pl. folytonos 0 és 1 között, de 1 és 2 között már nem.

Az előbbi példák rendkívül szemléletesek. De azért nem árt megérteni, miről van szó.

Ha függvényről beszélünk, meg kell adnunk az értelmezési tartományát, és azt a szabályt (például képletet, de bármilyen leírást, amely pontosan meghatározza a teendőket), amely segítségével minden (ez fontos: minden) értékre az értelmezési tartományból, megad egy másik értéket, ez lesz a függvényérték.

A egy adott tartományon folytonos függvény azt jelenti, hogy ha két pontot veszünk az értelmezési tartományból akármilyen közel egymáshoz, akkor ezek értéke is akármilyen közel lesz. Matematikailag: ha előre megadunk egy bármilyen kicsi A értéket, és ehhez tudunk mondani egy z értéket úgy, hogy ha |x1-x2|<z, akkor mindig |f(x1)-f(x2)|<A is teljesül.

Legyen f(x)=2*x. Ha veszek agy bármilyen kicsi A értéket, a z=A/2 választással azt látjuk, hogy ha |x1-x2|<z, akkor |2*x1-2*x2|=2*|x1*x2|<2*z=A.

De ha f(x) az a függvény, ami az x<2 esetén -1 értékű, viszont 2-nél és fölötte 1 értékű, akkor erre az előbbi feltétel nem igaz az x=2-ben. Mivel bármilyen picivel az x=2 előtt f(x1)=-1, és bármilyen picivel 2 után f(x2)=1, ezért |x1-x2| lehet bármilyen kicsi, |f(x1)-f(x2)|=2 lesz mindig, vagyis nem tudunk például az A=1-hez semmilyen z-t megadni, hogy az eredeti egyenlőtlenségek teljesüljenek. Ha nem tudunk,akkor a függvény x=2-ben nem folytonos. Bonyolultabb függvényeknél csak körültekintőbben kell eljárni, de ugyanígy teszünk.