Matek, halmazelmélet: Ez a levezetés jó?

Rimán János: Matematikai analízis I, 1.19 tétel (2)

Tehát: Legyen X adott halmaz, ez az alaphalmaz, továbbá A,B halmazok részhalmazai X-nek. Az A halmaz akkor és csak akkor részhalmaza B-nek, ha B X-re vonatkozó komplementerhalmaza részhalmaza az A X-re vonatkozó komplementerhalmazának.

Tehát: (A részhalmaz B) ekvivalens (B-komplementer részhalmaza A-komplementer).

Az ekvivalenciareláció két esetben ad igaz eredményt: igaz,igaz és hamis,hamis. Kezdjük az elsővel.

Legyen az X halmazrendszer (mivel X olyan halmaz aminek elemei is halmazok, ezért X már halmazrendszer)

X = { {1, 2}; {1, 2, 3}; {1, 2, 3, 4 }; {5, 6, 7, 8} }

Tény h a tétel csak az A és B halmazról szól, de attól még a halmazrendszernek lehetnek további elemei (halmazai), ugye?

A halmazrendszerben szereplő halmazokat jelöljük rendre A,B,C,D betűkkel. Nyilvánvaló hogy A részhalmaza B-nek, már csak azt kell igazolni hogy B komplementerhalmaza részhalmaza A komplementerhalmazának. A komplementerhalmaz-képzés szabálya:

Az A halmaz X-re vonatkozó komplementerhalmaza az X \A (X mínusz A) halmaz. Az X és A halmaz különbsége pedig:

X\A = {x : x eleme X és x nem eleme A-nak}

Képezzük A és B komplementerhalmazait:

X\B = { A, B, C, D }

X\A = { A, B, C, D }

Ami baromságnak tűnik, de ez logikus. Hiszen ha végigvesszük a halmazrendszer elemein, először vizsgáljuk az A halmazt. Az A halmaz eleme az alaphalmaznak, hiszen abban a halmazban van és nem igaz rá hogy A eleme a B halmaznak, így a logikai állítás igaz, tehát a különbséghalmazba tartozik. A B halmaz szintén eleme az X halmaznak, de egy halmaz NEM eleme saját magának. Részhalmaza, de ott elem van írva. Így erre is igaz az állítás. Ugyanígy igaz lesz C-re és D-re is.

De ennek nemsok értelme van. Ez a konkrét kérdésem hogy ez a levezetés jó, vagy mit nézek el?

A részhalmaz reláció nyilván fennáll. Ha pedig nézem az ekvivalencia másik oldalát, hamis ekvivalens hamis = igaz, akkor ellentmondásra jutok, mert a B komplementerhalmaza nem részhalmaza A komplementerhalmazának csak akkor ha a B komplmeneterhalmaz tartalmaz olyan elemet amit az A komplementerhalmaz nem. Ami pedig a különbséghalmaz levezetéséből nem állhat fenn, de egész biztosan van ilyen eset, különben akkor nem ekvivalenciával definiálják hanem konjukcióval. Szóval mit nézek el?

Köszönöm a válaszokat.