Hogy kell 3 halmaz elemeit összeszorozni?

Két halmaz Descartes szorzata a két halmaz elemeiből képzett összes lehetséges rendezett pár.

A Definíció kiterjeszthető tetszőlegesen sok halmazra is.

Pl.:

A={a, b} B={1, 2, 3}

AxB={ (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3) }

3mal miért bonyolultabb?

Nem rendezett párok, hanem rendezett hármasok lesznek benne.

A te példádban úgy nézne ki, hogy:

A×B×C={ (1,4,7), (1,4,8), ..., (3,6,9) }

Szerintem nem az elemeknek, hanem a halmazoknak van Descartes-szorzata…

A Wikipédián az első bekezdést ajánlom erősen: [link]

Meg az utána következő mondatot, ahol a kapcsos zárójeles részt úgy kell értelmezni, hogy olyan (a, b) párok HALMAZA, AMIKRE az A halmazban ELEME ÉS b a B halmaz eleme.

(HALMAZA: ezt jelöli a kapcsos zárójel pár

AMIKRE: ez a |

ELEME: hülye E betű

ÉS: nagy kalap).

Szóval a te példádban A×B az nem más, mint

{(1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 4); (3, 5); (3, 6)},

de B×A = {(4, 1); (5, 1); …; (6, 3)}, szóval az előző párjai megfordítva. És ez a kettő nem ugyanaz.

Hogyha (A×B)×C kell megmondani, akkor az A×B-ben levő párokhoz hozzá kell csapni C elemeit:

{((1, 4), 7); ((1, 4), 8); ((1, 4), 9); ((1, 5), 7); …; ((3, 6), 9)}.

Na most ezen az alapon A×(B×C) az

{(1, (4, 7)); (1, (4, 8)); (1, (4, 9)); (1, (5, 7)); …; (3, (6, 9))}

lenne, viszont ez már a matematikusoknak is eléggé hasonlít az előzőhöz, hogy a zárójeleket belülről elhagyjuk. (Meg különben is, mindenki utálja az olyan dolgokat, amik nem asszociatívak…) Szóval az a megállapodás, hogy (A×B)×C = A×(B×C) = A×B×C, azaz

{(1, 4, 7); (1, 4, 8); (1, 4, 9); (1, 5, 7); …; (3, 6, 9)},

27 elemmel.

Például a {0; 1}×{0; 2}×{0; 1}×{0; 1} Descartes-szorzat az a

{(0, 0, 0, 0); (0, 0, 0, 1); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 1, 1); (0, 2, 0, 0); (0, 2, 0, 1); (0, 2, 1, 0); (0, 2, 1, 1); (1, 0, 0, 0); (1, 0, 0, 1); (1, 0, 1, 0); (1, 0, 1, 1); (1, 2, 0, 0); (1, 2, 0, 1); (1, 2, 1, 0); (1, 2, 1, 1)}.

Nem tudom, ez mennyit segített, ha kell még valami, akkor írj.

Az elemeket továbbra sem szorozzuk. Másrészt direkt azért írtam a második példámat, hogy lásd mi van akkor, ha a halmazok közt egyformák is vannak a többszörös szorzatban.

Ha A={1; 2; 3}, akkor A×A = {(1, 1); (1, 2); …; (3, 3)}, az elemeket szépen párba állítva, mint eddig.

Egy halmazon belül nem számít milyen sorrendben vannak az elemek. Ott csak az számít, hogy benne van-e egy adott elem. Még az se számít, ha valamit esetleg többször írunk bele. Szóval {a; c; b} = {b; c; a} = {b; c; a; b; c; c; b; a} stb. Ugyanígy {1; 2}×{3; 4} = {(1, 3); (2; 4); (2, 3); (1, 4)} = {(2, 3); (1, 3); (2, 4); (1, 4); (2, 3); (1, 3); (1, 3)} stb.

Viszont rendezett 2-eseknél, 3-asoknál stb. nem mindegy, a sorrend, azért rendezettek. Az (1, 3) nem ugyanaz, mint a (3, 1), és pláne nem ugyanaz, mint az (1, 3, 3, 1, 1, 3).

Ezért nem egyenlő például az {1; 2}×{3; 4} és a {3; 4}×{1; 2}. Az előbbiben benne van az (1, 3), még az utóbbiban nincsen, vagy fordítva az utóbbiban benne van a (4, 1), de az előbbiben nincsen. Tehát ez a két halmaz nem ugyanaz.

Szóval a halmaz elemeit olyan sorrendben és annyiszor írod bele a halmazba, amilyenben/ahányszor csak tetszik. Hogyha valamiért az {d; f; a; c; e; b} kényelmesebb, mint az {a; b; c; d; e; f}, akkor az is tökéletes.