Segítség kellene a NEM 10-ES ALAPÚ SZÁMRENDSZERBEN! Valaki?

A számrendszernek az a lényege, hogy a különböző nagyságokat szeretnénk egyszerűen és félreérthetetlenül leírni, másokkal közölni. Ehhez mindenki által azonosan használt, és könnyen megjegyezhető kód kell. Egy ilyen kód a számrendszer.

Amíg kis mennyiségekről van szó, egy jelet használunk. Például 6. Nagyobb mennyiségekhez vagy újabb jelet használunk és nem bírjuk megjegyezni őket, vagy két (több) jelet írunk egymás mellé. Az un. tízes rendszerben 12, de az un. hexadecimális (16-os) rendszerben "C".

Mivel az embernek 10 ujja van, kézenfekvő volt 10 jelet használni. Az első 10 jel: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. A következőt úgy alkotjuk meg, hogy vesszük a második jelet, mögé írjuk az elsőt. Ha ez is elfogyott, vesszük a harmadikat, és mögé az elsőt. Ha akkora mennyiségről szólunk, ami ezeket a lehetőségeket kimerítette, vesszük a második jelet, és utána írjunk még két jelet az előbbi szabály szerint. Ez egy könnyen megjegyezhető szabály.

Rájöhetünk, hogy ez nem más, mint a 10 hatványai, vagyis amíg lehet, egy jellel dolgozunk (10 nulladik hatványa), utána 10 első hatványával, amihez két jegy kell, aztán a harmadik hatványával, ezt 3 jeggyel tudjuk leírni, és így tovább.

De lehetne a jelünk csak kétféle, 0 és 1. Ez a bináris számrendszer. a hármat úgy tudjuk leírni, hogy 2 (ez a számrendszerünk alapja) az első hatványon, meg egy, azaz 11. A tízes alapú 12 pedig: 2 a harmadikon = 8, még marad 4. 2 a másodikon az 4, még marad 0. Ezért a 2 az elsőn és nulladikon már nem szerepel. Tehát 11 = 1*2^3+1*2^2+0*2^1+0*2^0. Röviden, 1100.

Ha ugyanezt ötös alapú számrendszerben akarjuk írni, 11=2*5^1+1*5^0, röviden 21. A 16-os rendszerben (ahol a jelek:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, összesen 16 jel) pedig a B.

Vagyis rajtad múlik, milyen alapú számrendszert használsz, a jelek felírásának szabálya mindig ugyanaz. Csak a tízest annyira megszoktuk, hogy ezzel számolni összehasonlíthatatlanul könnyebb. De például az informatika bizonyos ágaiban a kettes számrendszer rendkívül fontos, ezért az ott dolgozók annyira megszokták, hogy hasonló könnyedséggel írnak fel számsorokat, meg végeznek műveleteket abban a rendszerben is.

Szia :)

Még egy kis magyarázat, hátha ez is segít jobban megérteni.

Kezdem a tízessel, mert azt használjuk a leggyakrabban, csak annyira "természetes", hogy már nem is gondoljuk át, hogyan működik.

A tízesnél az egyes helyiértékeken álló számok jobbról balra haladva a 10 eggyel nagyobb hatványait fejezi ki, tíz a nulladikonnal kezdve:

10^0 = 1 --> egyesek

10^1 = 10 --> tízesek

10^2 = 100 --> százasok

10^3 = 1 000 --> ezresek

10^4 = 10 000 --> tízezresek

10^5 = 100 000 --> százezresek

10^6 = 1 000 000 --> milliósok

stb.

(A hatvány azt jelenti, hogy annyiszor szorozzuk meg önmagával a számot, amennyi a hatványkitevőben van. Pl. 10^2 = 10 * 10 = 100; 10^3 = 10 * 10 * 10 = 1 000 stb.)

A tízes számrendszerben 10 jelet / számot használunk az egyes számok leírásakor: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

A 9-nél eggyel nagyobb szám leírásához nincs új jel, pl. a @ vagy a #, hanem helyiérték szerint jegyezzük le a számot: egy darab tízes és nulla darab egyes, azaz 10. A továbbiakban sincsenek új jelek a tizenkettőre, tizenháromra, tizennégyre stb.

Olyan, mint amikor tízesével csoportosítunk, és lejegyezzük egy listára, hány tízes csoport lett, ill. hány darab maradt ki. Pl. kilencvenegy gombot tízesével csoportosítva 9 db tízes csoport lesz, és 1 gomb marad ki. Ekkor a tízes helyiérték alá a listán beírjuk a 9-est, mellé, az egyes helyiérték alá az 1-est; ez így néz ki: 91.

Hétszázhuszonöt gombnál pedig 72 db tízes csoportunk lesz és 5 db marad ki. Az 5 db egyessel nincs további teendő, de a 72 db tízes csoportból megint tudunk tízesével csoportosítani: 7 db lesz, és 2 marad meg. Tehát 7-et írunk a százasokhoz, 2-t a tízesekhez, és végül 5-öt az egyesekhez; ez így néz ki: 725.

Ehhez hasonlóan a kettes számrendszerben az egyes helyiértékeken álló számok jobbról balra haladva a 2 eggyel nagyobb hatványait fejezik ki, 2 a nulladikontól kezdve, a tízes számrendszerben is használt jelekkel kifejezve:

2^0 = 1 --> egyesek

2^1 = 2 --> kettesek

2^2 = 4 --> négyesek

2^3 = 8 --> nyolcasok

2^4 = 16 --> tizenhatosok

stb.

Tehát ebben a számrendszerben azért csak a 0 és az 1 számjegyeket használjuk, mert ha kettesével csoportosítunk valamit, akkor máris a következő helyiértékhez jutunk. Pl. két almából egy db kettes csoportot tudunk csinálni, így a kettes helyiérték alá 1-et írunk, az egyes helyiérték alá 0-t, mert nem maradt ki alma. Három alma esetén pedig van egy kettes csoportunk, és kimarad egy alma, tehát így írjuk le: 11. Négy almából két db kettes csoportot tudunk csinálni, amiket megint tudunk kettesével csoportosítani: egy db lesz. Tehát a négyes helyiérték alá írjuk az 1-est, és mivel nem maradt ki semmi, ezért a kettes és az egyes helyiértékek alá a 0-t. Azaz a szám: 100.

Ugyanígy épül fel a többi számrendszer is: a hármasban a három hatványai adják a helyiértékeket, a legnagyobb számjegy a 2; a négyesben a négy hatványai adják a helyiértékeket, a legnagyobb számjegy a 3 stb.

Sok sikert a felvételihez. :)

Az is segít, ha megpróbálod számláló tárcsákkal elképzelni a dolgot: [link]

Itt ugye a jobb oldali tárcsa 10-es számrendszerben 10 egyenlő részre van osztva, és rá vannak írva a számjegyek 0-tól 9-ig. A többi tárcsán ugyanígy. Ha a jobb oldali tárcsa 10 lépést tesz, azaz teljesen átfordul, akkor a jobbról második lép egyet. Ha a jobbról második 10-szer lép, azaz egyszer átfordul, akkor a jobbról harmadik lép egyet. Ahhoz, hogy a jobbról harmadik egyet lépjen, ahhoz a jobbról másodiknak 10-szer kell lépnie, ehhez a jobb oldalinak 10*10 = 100 lépést kell tennie.

De mi van, ha mondjuk nem 10, hanem 7 részre osztjuk a tárcsákat, és 0-tól 6-ig írjuk rá a számjegyeket? Ekkor kapunk egy hetes számrendszerben működő számlálót.

Ahhoz, hogy a jobbról második tárcsa egyet lépjen, ahhoz a jobb oldali tárcsának 7-et kell lépnie, ami egy átfordulás. Ahhoz, hogy a jobbról harmadik egyet lépjen, ahhoz a jobbról másodiknak 7-et kell lépnie, amihez meg a jobb oldalinak 7*7-et, azaz 49-et kell lépnie.

Tegyük fel, hogy ez a hetes számrendszerű számláló jelenleg 2326-ot mutat. Hogyan számoljuk át ezt tízes számrendszerbe?

Tudjuk, hogy a jobbról negyedik 2-szer fordult át, ehhez 2*7*7*7 lépés kellett. Ez 686 lépést jelentene, de ekkor a számláló még csak 2000-t mutatna.

Tehát hozzá kell adni a jobbról harmadik tárcsa 3 lépését, amihez 3*7*7, azaz 147 lépés kellett. De ekkor a számláló még csak 2300-at mutatna.

Ehhez hozzá kell adni a jobbról második tárcsa 2 lépését, amihez 2*7=14 lépés kellett. Ekkor a számláló 2320-t mutatna.

Tehát hozzá kell adni a jobb oldali tárcsa 6 lépését.

Röviden:

2326(7) = 2 * 7^3 + 3 * 7^2 + 2 * 7^1 + 6 * 7^0

2326(7) = 2 * 343 + 3 * 49 + 2 * 7 + 6 * 1

2326(7) = 686 + 147 + 14 + 6

2326(7) = 853

Hasonló analógiával bármilyen művelet értelmezhető más számrendszerekben, az osztás, szorzás, összeadás, kivonás mind-mind működik, csak az adott számrendszer számjegyeinek sajátosságát kell megérteni.

Látod, látod, így jár, aki a GYK-n udvariasan kér segítséget, és kétszer is megköszöni: még többet kap. :D

Majd írd meg, légy szíves, hogy sikerült a felvételid. :)