Matek: Mi értelme a gyökvonást úgy definiálni hogy egy rakás kritériummal kizárunk más lehetőségeket?

> „egy x szám n-edik gyöke az a mennyiség, amelynek n-edik hatványa x”

Ez így nem igaz. Ha n=2 és x=4, akkor ezek szerint 4-nek a négyzetgyöke az a mennyiség, aminek a négyzete 4. Csakhogy (-2)-nek is 4 a négyzete. Pont ezért kell kizárnunk a nemnegatív számokat. Az általad firtatott definíció pontos és minden szava szükséges.

Ja, hogy a kérdésed az, hogy miért nem úgy definiáljuk a négyzetgyököt, hogy az egy halmaz, aminek több eleme is lehet?

Kicsit bajos lenne kiszámolni a következő egyenletet:

x = √1 + √4 + √9

Ennek az eredménye lehet a te négyzetgyök definíciód szerint:

x_1 = (-1) + (-2) + (-3) = -6

x_2 = (-1) + (-2) + (+3) = 0

x_3 = (-1) + (+2) + (-3) = -2

x_4 = (-1) + (+2) + (+3) = 4

x_5 = (+1) + (-2) + (-3) = -4

x_6 = (+1) + (-2) + (+3) = 2

x_7 = (+1) + (+2) + (-3) = 0

x_8 = (+1) + (+2) + (+3) = 6

x = ± (0|2|4|6)

Praktikus okokból a négyzetgyök alatt ezért értjük a nemnegatív megoldást.

> bocsánat ha akadékoskodok

Nem akadékoskodás ez, teljesen jogos a kérdésfeltevés. Ez definíció kérdése, nem ténykérdés. Történetileg úgy alakult, hogy a √4 alatt csak a nem negatív változatot értjük. Amúgy valóban könnyebbé teszi a legtöbb esetben a számolást, mert nem kell folyamatosan elágaztatni az egyenletet, „ha √x negatív” és „ha √x pozitív” ágakra. Erre viszonylag ritkán van szükség, és pont ott szokták kimondottan jelezni ± jellel. Mondok egy példát. Pl. van egy derékszögű háromszöged, aminek ismered az átfogóját és az egyik befogóját. A Pitagorasz-tétel kimondja, hogy a²+b²=c²

Ebből ugye ki tudjuk számolni a hiányzó befogót:

b² = (c²-a²)

b = √(c²-a²)

Nagyszerű. Ha a te definíciódat használjuk, akkor kicsit máshogy alakul a dolog:

b = |√(c²-a²)|

vagy

b = √(c²-a²) ahol b≥0

Ha mondjuk b nem egy ismeretlen, hanem egy komplexebb kifejezés, akkor nagyon hülyén jön ki, ha vinni kellene folyamatosan tovább a kikötéseket, vagy hogy vissza kelljen térni a fenti kikötéshez. Maga a gyökvonás tartalmazza ezt a kikötést, mert az esetek 95%-ban az a dolog amit számolsz, magában foglalja a kikötést. Sok esetben kell pl. területből mondjuk négyzet esetén oldalhosszt, kör esetén sugarat számolni. Ezek alapvetően nem negatív mennyiségek. A való életben nem szoktak lenni negatív hosszúságok pl. Ezért választották meg így a definíciót.

Egy függvénynek csak egy értéke lehet. Bár vannak halmazértékű függvények is, zavaró lenne, ha például a gyök 2 nem egy szám lenne.

A komplex számok körében viszont gyakran halmazként definiálják.