Ezt az oszthatósági feladatot hogy lehet megcsinálni?

Először is átalakítom kicsit a polinomot:

(x^2+x+1)^1012-1 =

((x^2+1) + (x))^1012 - 1

nézzük meg ezt a hatványt:

((x^2+1) + (x))^1012

Ez (a+b)^n alakú, ahol a = x^2+1 és b = x

Ezt hatványozzuk a binomiális tétel alapján

[link]

mivel a=x^2+1, ezért minden olyan tag, amiben szerepel ez a szorzó nyilvánvalóan osztható lesz x^2+1-el. Csak egyetlen tag marad, amiben ez nincs x^1012.

Azaz már csak azt kell vizsgálni, hogy x^1012-1 osztható-e (x^2+1) -el.

x^1012-1 = (x^2+1)*(x^1010-x^1008+x^1006-x^1004+x^1002-x^1000+....+x^2-1)

Ha elkezded összeszorozgatni, láthatod hogy minden szépen kiesik, csak az x^1012-1 marad. Így mivel egy összegben minden tag osztható (x^2+1)-el, ezért az egész kifejezés is osztható, így bebizonyítottuk a feladatot. persze lehet hogy ennél egy picit részletesebben kell levezetni, főleg a binomiális tétel részt, de remélem így már érthető a feladat.