Határértékszámításkor, ha az x 0-ba tart és határozatlansági esettel van dolgunk, milyen megoldási módszerek léteznek? PL: lim x->0 (√1+x - √1-x) /x . Ezt hogy számoljuk ki?

lim x->0 (gyok(1+x) - gyok(1-x)) /x

Mivel ez 0/0 alakú használhatod a L'Hospital szabályt, azaz lederiválhatod külön a számlálót és a nevezőt is

Ezután ezt kapod:

lim x->0 (1/(2*gyok(1+x)) + 1/(2*gyok(1-x))) /1

ide behelyettesítve a 0-t: (1/2+1/2)/1 = 1-et kapsz

Többnyire a 0/0 vagy végtelen/végtelen alakú határértékeknél ezt kell használni.

Ha nem tanultátok még a L'Hospital szabályt, akkor használd fel az (a+b)*(a-b)=a^-b^2 azonosságot. Ebben az esetben szorozuk a számlálót és a nevezőt is (hogy a tört értéke ne változzon) sqrt(1+x)+sqrt(1-x)-el. Ekkor a számláló értéke az azonosság alapján a két tag négyzetének a különbsége lesz, így eltűnik a gyökjel és (1+x)-(1-x)=2x marad.

A nevezőben ugye x*(sqrt(1+x)+sqrt(1-x)) lesz. Látszik, hogy x-el le lehet egyszerűsíteni, így a kifejezés átírható 2/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x)) alakra. Ebbe pedig be lehet helyettesíteni a 0-át, az eredmény 2/2=1 lesz.