Hogyan oldjam meg a valós számok halmazán? Négyzetgyök2 * (sinx+cosx) =tgx+ctgx

(1) A jobb oldal miatt kikötéseket kell tenni x-re, mivel a tg x és a ctg x nem értelmezett minden valós számra. Így (a tg miatt) x nem lehet egyenlő PÍ/2+k*PÍ-vel (keZ); illetve (a ctg miatt) x nem lehet egyenlő k*PÍ-vel (keZ) sem.

(2) Alakítsuk át az egyenlet mindkét oldalát, először osszuk el mindkét oldalt 2-vel (hogy miért, később fog kiderülni)!

-Jobb oldal: ismert, hogy tg x=sin x/cos x és ctg x=cos x/sin x. Ezt helyettesítve, közös nevezőre hozva, rendezve és felhasználva, hogy (sin x)^2+(cos x)^2=1 és (sin x)*(cos x)=(sin 2x)/2, azt kapjuk, hogy 2/(sin 2x), de osztottunk 2-vel, így végül 1/(sin 2x) marad

-Bal oldal: vegyük észre, hogy (GYÖK 2)/2=sin PÍ/4=cos PÍ/4! Ezért itt alkalmazható az egyik addíciós tétel, mert ez pontosan sin(x+PÍ/4)=(sin x)*cos PÍ/4+(cos x)*sin PÍ/4.

(3) Így az egyenlet formája most már sin(x+PÍ/4)=1/(sin 2x). Gondoljuk meg, hogy sin(x+PÍ/4) és sin 2x értéke csak [-1;1] intervallumban lehet. Ezért sin 2x csak -1 vagy 1 lehet, így sin(x+PÍ/4) szintén -1 vagy 1 lehet csak.

(4) Ezen eseteket gyorsan végig lehet "zongorázni"

-ha sin 2x=1 (azaz x=PÍ/4+k*PÍ, keZ), akkor sin(x+PÍ/4)=1 (azaz x=PÍ/4+2*k*PÍ, keZ) ---> KÖZÖS RÉSZ AZ UTÓBBI

-ha sin 2x=-1 (azaz x=-PÍ/4+k*PÍ, keZ), akkor sin(x+PÍ/4)=-1 (azaz x=-3PÍ/4+2*k*PÍ, keZ) ---> KÖZÖS RÉSZ UTÓBBI

(5) Ez két megoldás viszont leírható egyben is, ezért a megoldás x=PÍ/4+2*k*PÍ (keZ).

2*(sinx+cosx)^2=(tgx+ctgx)^2

2(sin^2(x)+cos^2(x)+2*sinx*cosx)=((1-cos2x)/sin2x+(1+cos2x)/sin2x)^2

(1+sin2x)=2/sin^2(2x)

sin^2(2x)+sin^3(2x)=2

Innen nem tudom hogyan kell.

De szerintem idáig jó.

Megint én vagyok xD Íme a WA megoldása:

[link]