Az alábbi feladat melyik értelmezése tűnik logikusabbnak?

A logikusabbnak tűnik, hiszen ez egy matematikai kérdés, ami esetén általában bizonyos dolgokat elhanyagolunk. Igen, ha azonos köríven haladnának, akkor összeütköznének. De ha azt mondjuk, hogy a körívek hosszának különbsége elhanyagolható, akkor azonosnak tekintendő. Illetve pontszerű motorosok esetén nem igazán lehet ütközésről beszélni. :-)

De a feladat megoldása szempontjából teljesen mindegy, hogy melyik értelmezést nézzük, mint ahogy a feladatban nem is szerepel a körpálya mérete, mert lényegtelen a megoldás szempontjából. Hasonlóan ahhoz, hogy az óra és percmutatókkal is lehet hasonló feladatot felírni, attól függetlenül, hogy hosszabb-e percmutató, mennyivel, illetve karóráról, vagy toronyóráról van-e szó.

Külön kérésre: Nézzük akkor a feladat megoldását, miről is van benne szó.

A sebesség értelmezhető ebben a feladatban kör/idővel, mondjuk kör/másodperccel. Vagy fok/másodperccel. Ezt pont úgy lehet kezelni, mint a hagyományos sebességet m/s-ban.

Használjuk a fok/másodperc mértékegységet, mert így nem kell bajlódnunk majd a törtekkel.

Mit tudunk? A két motoros közösen 360°-ot tesz meg 24 másodperc alatt. A két motoros sebességének összege tehát 360/24=15 fok/másodperc, hiszen a kör 24-ed részét, azaz 15 fokot tesznek meg közösen egy másodperc alatt.

x+y = 15

Ha azonos irányban mennek, akkor akkor fognak találkozni, ha éppen lekörözi az egyik a másikat, tehát az egyik n, a másik n+1 kört tett meg. Ez egyenértékű azzal – és a lassabb motoros nézőpontjából így is látszik –, mintha a lassabb motoros állna, a gyorsabb, meg a kettőjük közötti sebességkülönbséggel haladna. Ez a különbségsebesség 1kör/120 másodperc, azaz másodpercenként 3 fokot ver rá a gyorsabb motoros a lassabbra.

x-y=3

Innen már szimpla kétismeretlenes egyenletrendszer:

x+y=15

x-y=3

A másodikból kifejezzük az x-et,

x-y=3

x=(3+y)

Ezt visszahelyettesítjük az elsőbe:

x+y=15

(3+y)+y=15

3+2y=15

2y=12

y=6

Innen kifejezhető x is: x=3+y=3+6=9

(Persze ha úgy jobban tetszik, akkor össze is lehet adni a két egyenletet, ugyanaz fog kijönni.)

Innen tehát tudjuk, hogy a gyorsabb motoros 9 fokot tesz meg másodpercenként. Egy teljes kört, tehát 360 fokot 360/9 = 40 másodperc alatt fog megtenni, magyarán ennyi a körideje.

A másik 6 fokot tesz meg másodpercenként, tehát 360 fokot 360/6=60 másodperc alatt tesz meg.

~~~~~

Ellenőrzés:

24 másodperc alatt a gyorsabb motoros a kör 24/40-ed részét teszi meg, azaz 3/5-át. A másik ugyanennyi idő alatt a kör 24/60-ad részét, azaz 2/5-öd részét. Együtt tehát megtesznek 2/5 + 3/5 kört, azaz egy egészet.

2 perc, azaz 120 másodperc alatt az egyik motoros 120/40 kört tesz meg, azaz 3 egész kört. A másik motoros 120/60 kört, azaz 2-t. Pont lekörözi tehát a 2. percben az egyik a másikat.

~~~~~

És mindez teljesen független attól, hogy mekkora a kör, illetve hogy az egyik kisebb, vagy nagyobb körben motorozik.