Mi az a szélső érték?

A szélsőérték a legnagyobb és/vagy a legkisebb ( vagy mindkettő) érték, amit a függvényed felvesz.

Ha az egész számegyenesen értelmezed az x+3 függvényt, akkor nincs szélsőértéke.

De, ha a a nemnegatív számok halmazán értelmezed a függvényt, akkor már van neki minimumhelye, amit a 0nál vesz fel, értéke pedig 3. Ezt már szélsőértéknek nevezzük.

Kezdjük kicsit előbbről. A függvény azt jelenti, hogy adott két (szám)halmaz. Az első halmaz minden eleméhez hozzárendelünk egy elemet a másodikból. A függvény nem más, mint a hozzárendelés módja. Például, ha mindkét halmazban a valós számok vannak, és az elsőből vett számokhoz a másodikból a hárommal nagyobbat rendelem, akkor y=x+3 függvényről van szó.

Az első halmaz elemeit értelmezési tartománynak nevezem, mert a függvényünkről csak itt van értelme beszélni. A másodikat értékkészletnek nevezem, mert az elsőből vett elemekhez ezeket az értékeket rendeltem. Itt most mindkét halmaz a valós számok összessége, tehát végtelen.

Amikor végigmegyek az értelmezési tartományon (egyváltozós függvények esetén mondjuk a - végtelentől a + végtelenig), akkor a függvény nagyon különböző értékeket vehet fel. Lehetséges, hogy minden esetben, ha x1 < x2, akkor y1 < y2 is teljesül, de ez nem minden függvényre igaz. Lehetséges, hogy van az értelmezési tartománynak egy olyan szakasza, mondjuk "a" és "b" között, hogy itt van egy c szám, a < c < b, és bármilyen x-et veszünk ebből a tartományból, akkor y(x) < y(c), vagyis a függvényérték a c-ben a legnagyobb. A függvény ebben a "c" pontban felvett értékét nevezzük szélső értéknek, mert itt nincs olyan pont, ahol nagyobb lenne a függvény ennél. Az is elképzelhető, hogy van egy d és f közé eső értelmezési tartomány, hogy itt van egy g pont d < g < f, hogy ezen a szakaszon meg az y(g) a legnagyobb. Akkor ezen a szakaszon ez a szélső érték.

Mivel ezek nem az egész értelmezési tartományon a legnagyobbak, csak egy szakaszon, lokális szélsőértéknek nevezzük őket. Látszik, hogy ilyen szélsőérték sok lehet egy függvényen. De ha mondjuk kiderül, hogy a g pontban lévő függvényérték az egész értelmezési tartományon a legnagyobb, akkor őt abszolút szélsőértéknek nevezzük, mert a függvény ennél nagyobb értéket soha nem vesz fel. Ebből is lehet sok hely, ahol a függvényünk mindig ekkora értéket vesz fel. Ugyanezt elmondhatjuk úgy is, hogy a "legnagyobb" helyett "legkisebbet" mondunk.

Például az y=x^2 függvénynek x=0 helyen abszolút szélsőértéke van, mert y(0)=0^2=0, viszont minden más helyen a négyzet nagyobb nullánál. De az y=sin(x) trigonometrikus függvénynek a ˙[0,pi] tartományban a pi/2 helyen az értéke 1, és ez lokális szélsőérték ott. Tovább vizsgálódva, láthatjuk, hogy a 3*pi/2 helyen a függvényérték -1, és ez is lokális szélsőérték. Ha a teljes értelmezési tartományon (minden valós számra) megvizsgáljuk, azt kapjuk, hogy az 1-et és -1-et a függvény nagyon sokszor felveszi, de ezeknél sem nagyobbat, sem kisebbet nem. Ezért ezek abszolút szélsőértékek is egyben.

Az y=x+3 függvényről ugyanilyen gondolatmenet után megállapíthatjuk, hogy nincs szélső értéke, mert bármilyen pontot veszünk, mindig van egy másik, ahol a függvényérték kisebb, vagy nagyobb. Ha csak mondjuk a [0,1] tartományt nézzük, akkor a két határon, a 0-ban és 1-ben lokális szélsőértéke van. Ha a (0,1) nyílt tartományon nézzük ugyanezt, akkor nincs szélsőérték, az első mondat megállapítását alkalmazva.