Hány 45-tel osztható abcba alakú ötjegyű szám van, ahol a, b és c különböző számjegyeket jelöl? A gondolatmenet is érdekelne.

[link]

5-tel az osztható, amelyek ucsó számjegye 0 v. 5

9-el amelyek számjegyeinek összege osztható 9-el.

45-el az osztható, ami 9-el és 5-tel is osztható.

0-ra végződőket nem kell keresni, mert 0bcb0 alakú szám, csak 4 jegyű, tehát nem játszik.

Ha az ucsó számjegy 5-ös, 5bcb5 alakú a szám. 2b+c + 10-nek oszthatónak kell lennie 9-el. Őőőő erre biztos lehetne írni valami szép képletet, de kipróbálgatni sem tart túl sokáig, hogy melyik párok lehetnek a jók.

Akkor és csak akkor osztható a szám 45-tel, ha osztható 5-tel és 9-cel.

Hogy 5-tel osztható legyen, ahhoz az utolsó jegyének, a-nak 0-nak vagy 5-nek kell lennie, viszont az első jegye nem lehet 0, tehát a = 5.

Akkor lesz osztható 9-cel, ha számjegyeinek az összege osztható 9-cel, tehát a + b + c + b + a = 10 + 2*b + c-nek 9-cel oszthatónak kell lenni, ez csak akkor lehetséges, ha 2*b + c 9-cel osztva 8 maradékot ad.

Most felsoroljuk az összes lehetséges esetet:

b = 0 --> c = 8,

b = 1 --> c = 6,

b = 2 --> c = 4,

b = 3 --> c = 2,

b = 4 --> c = 0 vagy c = 9,

b = 5 --> c = 7,

b = 6 --> c = 5,

b = 7 --> c = 3,

b = 8 --> c = 1,

b = 9 --> c = 8.

Ez összesen 11 lehetőség. (Máshogy elmondva: a 2b + c 9-cel osztva 8 maradékot ad kongruencia egyértelműen meghatározza c értékét, ha b rögzített, kivéve amikor 2b 8 maradékot ad, mert akkor a c = 0 és 9 is megoldás. b 10-féle lehet, az egyikhez 2 jó megoldás tartozik, így 11 jó megoldás van.)