Mi az, hogy Jordan-mérhető halmaz?

Az a gyanúm, hogy igazából egy korábbi fogalommal van probléma.

A halmaz különféle dolgok együttese, a felépítése önkényes abban az értelemben, hogy sokféle elemet, sokféle tulajdonságot gyűjthetünk egybe. Így lehet a természetes számoknak, az irracionális számoknak halmaza, vagy a kék szemű emberek, a kopaszok, halmaza, integrálható függvények, kétszer folytonos függvények halmaza.

Amikor definiáltunk egy halmazt, vizsgálhatjuk az őt alkotó elemeket, sőt az elemek egymáshoz való viszonyát és még sok mindent. Csakhogy a vizsgálathoz, hogy mindenki számára egyértelmű legyen, valamilyen (a vizsgálat tárgyától függő) mércét kell először alkotni, és módszert adni, hogyan mérjünk.

Például a terület (általánosítva n-dimenziós test térfogata) fogalmát akarjuk megérteni, és mérni is, akkor ezt többféleképpen tehetjük (gondoljunk akármilyen bonyolult, "lyukacsos" síkrészekre is). Jordan a síkbeli terület (térbeli térfogat) mérhetőségét vizsgálta. Arra adott definíciót, mikor tekintsünk egy területet, - általánosítva ponthalmazt - mérhetőnek. Azt mondta, hogy vegyük sokszögek két sorozatát. Az egyik sorozat legyen olyan, hogy a sokszögek egyre jobban "rásimulva" mindig tartalmazzák a kérdéses terület ponthalmazát, a másik sorozat pedig legyen "belül" a ponthalmazon. (más szóval, az első sorozat olyan sokszögek csökkenő területű sorozata, amelyek a ponthalmaz minden pontját tartalmazzák, a másik pedig olyan növekvő területű sokszögsorozat, amelyek minden pontját a kérdéses halmaz tartalmazza). Jordán azt mondja, ha a két területsorozat határértéke közötti különbség akármilyen kicsi lehet, akkor a kérdéses halmazt Jordán mérhetőnek nevezi. Ezzel egyben megadta azt is, hogyan kell a mérést elvégezni.

Ki lehet találni a halmazok területének (térfogatának) másfajta mérésmódszerét is, akkor az egy másik mérhetőség lesz. Ilyen például a Lebesque mérték. Ezeknek a tulajdonságoknak a halmazleképezések, halmazfüggvények vizsgálatánál van szerepük.