Hány metszéspontja van egy n oldalú konvex sokszög átlóinak?

Maximum (n alatt a 4) metszéspontja van.

maci

Hmmm....

Két átló biztosan metszi egymást egy helyen. n csúcsa van egy konvex sokszögnek. Tehát azt kell megnéznünk. hogy egy csúcsból ezen két átló végpontjait hányféleképp tudjuk kiválasztani. Ez a szám a keresett érték, azaz (n alatt a 4).

Fontos megjegyezni hogy ez akkor igaz csak, ha nincs olyan metszéspont ami 3 vagy több átló közös metszéspontja lenne! Ezért is írtam, hogy maximum ennyi ponton metszik egymást...

maci

"Két átló biztosan metszi egymást egy helyen."

helyesen:

Ha két átló metszi egymást, azt biztosan egy helyen teszi.

utolsó javítás:

"hogy egy csúcsból" helyesen: "hogy n csúcsból"

maci

vagy ha így jobban érthető: Ha adva van 4 pont a síkon (amikről most feltesszük, hogy nincs 3 egy egyenesen, mert ezt a konvex sokszög csúcsairól is feltehetjük, különben lenne két átló, amiknek lenne közös szakasza), akkor az összes lehetséges szakaszt behúzva közöttük azt kapjuk, hogy 1 darab metszéspont alakul ki.

Ebből meg azt tudjuk okoskodni, hogy ha n csúcsú konvex sokszög (n oldalú az n csúcsú is) csúcsai közül kiválasztunk bárhogy 4 csúcsot, akkor azáltal a 4 csúcs által meghatározott átlók 1 metszéspontot adnak, és minden metszéspontot előáll egy megfelelő 4es segítségével (veszem annak a két átlónak a végpontjait, amiknek a metszéspontja), tehát max annyi metszéspont lehet összesen, ahányféleképpen ki tudok 4 csúcsot választani az összes n csúcs közül.

//bocs, hogy nem írtam indoklást korábban, de a kérdésből nem derült ki egyértelműen, hogy az is kell, és lusta voltam begépelni.