Integrálásban ez mi alapján van?

Amikor deriválsz, akkor egy összetett függvényt úgy deriválsz, hogy a belső fv deriváltjával tovább szorzol. Ugyanígy integrálásnál, csak akkor tudsz egy alapintegrált egy összetett fv-re használni, ha ott van a deriváltja szorzóként. Ha nincs akkor nem tudod. Persze ha csak egy konstans szorzó az eltérés, azt nagyon egyszerűen be lehet hozni, beszorozzuk, és le is osztjuk vele. Egy egyszerű példán mutatom:

integal 1/x = ln|x| ugye, ez egy alapintegrál

nézzük integral 1/(1+3x)-et, ez egy összetett fv, az 1/x fv és az 1+3x fv kompozíciója az 1/(1+3x). az 1+3x deriváltja 3, azaz akkor tudunk integrálni, ha ott van a 3, ezt behozzuk:

1/3*integral(3*1/(1+3x)) = 1/3*ln|1+3x| innen jön az 1/3

Másik példánál

integral 1/(1+4x^3)-t nem lehet 1/x szerint integrálni, hiszen az 1+4x^3 deriváltja 12x^2, de ha ez a feladat:

integral 12x^2/(1+4x^3) az már egyenlő ln(1+4x^3)-al, hiszen ott a belső fv deriváltja, tehát lehet 1/x alapján integrálni.

A megadott két példában ugyanez szerepel két alapintegrál van, az arcsin és arctg, az elsőnél a belső fv 5x, hiszen ez van a képlet x helyén. Tehát, hogy integrálhassuk kell egy 5-ös szorzó, de ekkor le is kell osztani 5-el az első példámhoz hasonlóan.

A második példádban a levezetésben meg is van ez a lépés, ugye itt a belső fv 1/gyök2, ezért beviszi az integrálba, kívülre pedig a reciprokát, hogy ne változzon, és már lehet eszerint integrálni.

Huh, remélem érthető volt amit írtam :D

Három módszer van:

Az első az, amit az előző válaszoló írt.

A második a következő: Mindig meg kell nézni, hogy mi szerint integrálunk.

Az alapintegrál ugye az, hogy 1/gyök(1-y^2), és ennek primitív függvénye arc sin y +C.

Ebben az esetben y szerint integráltunk.

A példában y helyett 5x szerepel.

Vagyis ezt úgy tekinthetjük, hogy 5x szerint integrálunk. Ebből viszont az is következik, hogy dx helyén nem dx-nek kell lennie, hanem 5dx-nek.

Ezt úgy érjük el, hogy a számlálóban 5-tel szorzunk, (így lesz 5dx) viszont ekkor be kell tennünk egy 1/5 -ös szorzót is. Így kerül a végeredményhez is az (1/5)-ös szorzó.

A harmadik a következő: Alkalmazzunk helyettesítéses integrálást. Ez gyakorlatilag általánosítása az előbb említett módszernek.

Legyen: u=5x, Ebből: x=u/5; Tehát dx=(1/5)du.

Vagyis gyönyörűen kiadódik az 1/5 -ös szorzó.