Hogyan oldjam meg ezt a geometriai bizonyítási feladatot?

A rajzban segítek:

barsony.info/letolt/haromszog.JPG

A bizonyításhoz a legfelső rajzot kell figyelembe venni, akkor legegyformább területileg a 3 rész.

Tovább gondolva...

Ha jól megnézzük az első ábrát, és behúzzuk a DE vonalat, akkor kapunk 4 egyforma háromszöget (a nagy háromszögben). Ekkor a másik két háromszög mérete 1/4-ed (ami nagyobb mint a 2/9-ed). Innentől akárhova mozdítjuk a P pontot, ugyan a nagy téglalap területe csökkenni fog, de az egyik kisebb háromszög területe nőni, tehát az egyikük területe 1/4-ed fölé fog változni, ami ugye 2/9-nél több.

Így be is van szerintem bizonyítva. :P

A téglalap területe: x*(1-x)

Az egyik kis háromszög területe: x*x/2

A másik kis háromszög területe: (x-1)*(x-1)/2

(0<x<1)

Szimmetria okokból elég azzal foglalkozni, amikor x>=1/2

Ha x=2/3, akkor mind a téglalap, mind a nagy háromszög területe 2/9. Ha x ennél nagyobb, akkor x^2>4/9. Ha x kisebb, akkor a téglalap területe x= 2/3-y átírással (0<y<=1/6):

(2/3-y)*(1/3+y) = 2/9 +y/3 - y^2 = 2/9 + y*(1/3-y) > 2/9