Vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok?

vektor összeadását remélem nem kell ragoznom, ahhoz ábra is kéne, de azért leírom.

Adott 3 vektor a,b és c. Toljuk a b vektort kezdőpontjával az a vektor végpontjához, majd a b vektor végpontjához a c vektort a kezdőpontjával. Az a vektor kezdőpontját kössük össze egy, a c vektor végpontjába mutató vektorral. A vektort a+b+c-vel jellemezhetjük.

Ez a tulajdonság:

-kommutatív: a+b=b+a

-asszociatív: (a+b)+c=a+(b+c)

Vektor kivonása: Adott két vektor, a és b.

Toljuk a b vektor kezdőpontját az a vektor kezdőpontjához. Most az a és b vektorok végpontjait kössük össze. Két eset lehetséges:

-a-ból b-be mutat az a és b vektort összekötő vektor: b-a

-b-ből a-ba mutat: a-b

Az összeadásra vonatkozó tulajdonságok a kivonásra is igazak.

Vektor szorzása skalárral:

|k|*|a| ("k" a skalár, "a" a vektor

-ha k>0, akkor az új vektor (amit szorzás után nyertünk) iránya azonos az a vektor irányával.

-ha k<0, akkor ellentett vektort kapunk, iránya ellentétes az a vektorral.

Ez a tulajdonság azért lényeges, mivel ezzel szükséges és elégséges feltételt biztosítunk két vektor párhuzamosságára. Két vektor akkor párhuzamos, ha létezik olyan k (eleme a valós számoknak) szám, amelyre:

k*a=b (a és b mindkettő vektor)

Két vektor skaláris szorzata:

a*b=|a||b|*cos(gamma

a vektor abszolút értéke (pl. |a|) a vektor hossza. Ez pitagorasz tétellel adható meg, pldául koordinátáikkal megadott helyvektor (vagyis origóból kiinduló vektor) esetén:

a(a1;a2) (a vektor -végpontjának- koordinátái. a1=x, a2=y)

a=gyök alatt (a1^négyzet+a2^négyzet)

Ez a szorzat:

-kommutatív, mivel a koszinusz páros függvény. (a*b=b*a)

-nem asszociatív, viszont asszociatív két vektorra és egy skalárra: k*(a*b)=ka*b=a*kb

-disztributív: a*(b+c)=ab+ac

Tudni kell még, hogy az a*b koordinátáit hogy határozzuk meg: a(a1;a2;a3) és b(b1;b2;b3) esetén:

a*b=a1b1+a2b2+a3b3

Egy skaláris szorzat akkor lesz nulla, ha:

1. valamelyik vektor nullvektor.

2. a két vektor hajlásszöge 90 fok.

Említést tennék még arról, hogy ha egy vektor koordinátákkal van megadva mi a teendő:

a(a1;a2;a3) és b(b1;b2;b3) esetén:

a+b=(a1+b1;a2+b2;a3+b3)

k*a=(k*a1;k*a2;k*a3)

megemlíteném még a vektoriális szorzatot, habár ennek ismeretéhez szükséges ismerni a mátrix determinánsát (legalábbis érdemes), és annak értékének kiszámítását, de ezt most kihagyom.

vektoriális szorzat: axb (itt x-el kell jelölni a szorzás jelét)

|i |j |k |

|a1|a2|a3|=axb

|b1|b2|b3|

Hogy ezzel mit számolunk ki? Az axb-re merőleges állású, úgynevezett jobbrendszert alkotó irányú vektort, amelynek hossza a két vektor által kifeszített paralelogrammának a mértékszáma. Elosztva kettővel megkaphatjuk a két vektor által kifeszített háromszöget: (axb)/2

tulajdonságai:

-nem kommutatív: axb nem egyenlő bxa-val, mert nem mindegy, hogy melyik vektorra kell a merőleges.

-nem asszociatív: (axb)xc nem egyenlő ax(bxc), viszont asszociatív két vektorra és egy skalárra: k(axb)=kaxb=axkb

-disztributív, és mivel számít a sorrend, két disztributív törvény is van:

1. ax(b+c)=axb+axc

2. (b+c)xa=bxa+cxa

a vektoriális szorzat akkor lehet nulla, ha:

-valamelyik vektor null vektor.

-a két vektor párhuzamos (ugye akkor nem feszítenek ki semmit)

Vegyes szorzat:

(a*b)xc nek nincs értelme, mert ilyenkor egy számot szoroznánk vektoriálisan egy vektorral.

(axb)*c nek van értelme, mivel itt egy vektort szorzunk egy skalárral, mert ugye (axb) az a-ra és b-re merőleges vektort.

Mátrix hozzá:

|a1|a2|a3|

|b1|b2|b3|=|(axb)*c|

|c1|c2|c3|

Hogy mit ad a vegyes szorzat?

A 3 vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatát. Azért kell abszolút érték jel közé írni, mivel a térfogat csakis pozitív lehet, viszont az eredményből jöhetne ki negatív szám is.

Tulajdonságok:

-(axb)*c=a*(bxc) Tehát mindegy, hogy hova írjuk, mivel oly' mindegy, hogy melyik oldalt választjuk alapterületnek és magasságnak.

-Meghatározható belőle a háromszög alapú gúla térfogata is úgy, hogy az egészet leosztjuk 6-al. Hogy miért? Azt most nem írom le, a lényeg hogy igen.

Azt hiszem ennyi.

a vektoriális szorzatnál azt elrontottam, hogy a kommutatívságból nem az jön, hogy más vektorra merőleges, mivel ez egyfajta alternáló tulajdonság, de nem kommutatív, az igaz: axb=-(bxa)

viszont amit leírtam, hogy nem mindegy, hogy melyik vektorra merőleges, az az asszoviativitásra van.