Egy negatív számot nem lehet páros nevezőre leegyszerűsített tört számra emelni, ennek mi az oka?

Gyök_y(x)=x^(1/y)

Definíció szerűen.

Negatív alap esetén van némi probléma. Definíció szerint (vagy inkább a permanenciaelv miatt):

x^(1/3) = ∛x

Innen megint csak permanenciaelvből következően:

x^(a/b) = ᵇ√(xᵃ)

Egy negatív számnak a páros egész kitevőjű hatványa mindig pozitív, pl. (-2)⁴ = 16. Így aztán negatív számból nem lehet páros kitevőjű gyököt vonni, ergo ha a kitevő egy páros szám reciproka, akkor a hatvány nem lesz értelmezhető.

Mivel egy negatív számnak a páratlan egész kitevőjű hatványa szintén negatív – pl.: (-2)³ = -8 vagy (-2)⁵ = -32) ezért értelmezhető lehetne a (-8)^(1/3) = ∛(-8) = -2 vagy a (-32)^(1/5) = ⁵√(-32) = -2.

Ez viszont felvet egy problémát. Ugyanis:

(-8)^(1/3) = ∛(-8) = -2

De 1/3 = 2/6, ezzel behelyettesítve:

(-8)^(2/6) = ⁶√((-8)²) = ⁶√64 = 2

Mi a megoldás? Nincs egységes álláspont, de a következőkből lehet választani:

1. Negatív alap esetén csak az egész kitevőjű hatványt értelmezzük.

2. Negatív alap esetén a törtkitevőjű hatványt a komplex számok többértékű hatványfogalmával értelmezzük.

3. A törtkitevőjű hatványt a valós számok hatványaként csak úgy értelmezzük, ha a tört tovább nem egyszerűsíthető és a nevezője páratlan.

Kiegészítés. Ugye a hatványozás a természetes számok esetén nem más, mint inkrementális (ismétléses) szorzás:

4⁵ = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (ötször szorozzuk össze a négyeseket)

Ennek vannak bizonyos összefüggései. Pl. a szorzás kommutatív művelet, így:

4³ * 4² = (4 * 4 * 4) * (4 * 4) = 4⁵

Általánosan:

x^(a+b) = x^a * x^b

Vagy:

(4³)² = 4³ * 4³ = (4 * 4 * 4) * (4 * 4 * 4) = 4⁶

(4²)³ = 4² * 4² * 4² = (4 * 4) * (4 * 4) * (4 * 4) = 4⁶

Általánosan:

(x^a)^b = x^(a*b) = x^(b*a) = (x^b)^a

A műveletek kiterjesztése általában a permanenciaelv alapján történik. Tehát úgy terjesztjük ki a műveletet, hogy az összefüggések továbbra is érvényben maradjanak.

Így pl.:

x^(-a) = x^(0-a) = x^0 / x^a = 1 / x^a

Vagy pl.:

x^0 = x^(-1+1) = x^(-1) * x^1 = 1/x^1 * x^1 = 1/x * x = 1

Innen jön az, hogy:

x = x^1 = x^(n/n) = x^(n * 1/n) = (x^(1/n))^n

Mi is az x^(1/n). Egy olyan szám, amint n-dik hatványra emelve x-et kapunk. Hoppá, de hát ez a definíciója a gyökvonásnak. Így:

x^(1/n) = ⁿ√x