Láttam egy érdekes számtani érdekességet, és nem jövök rá, hogy hogy lehet igazolni azt, hogy ez a végtelenségig folytatható-e?

Ez pont volt egy Mathologer-videóban is: [link] youtu.be/XR2u7izwZ04

(Már ha érdekelnek további általánosítások/egy másik fajta vizualizálása egy gondolatmenetnek.)

Σ[i=0...n] n²+i

Vegyük ki az utolsó tagot (n²+n)-t a szummából:

(Σ[i=0...n-1] n²+i) + n²+n =

(Σ[i=0...n-1] n²+i) + n(n+1)

Látható, hogy itt n darab tagja van az összegnek, így az ehhez hozzáadott n(n+1) átírható úgy, hogy minden egyes taghoz – mind az n darab taghoz – hozzáadnunk n+1-et.

= Σ[i=0...n-1] n²+i + n+1

Az eredeti összeg utolsó tagja n²+n volt, ennek az első tagja n²+n+1 lesz, tehát az eredeti összeg utolsó tagjánál pont eggyel több. Az utolsó tagja meg n²+2n = (n²+2n+1)-1 = (n+1)²-1 lesz, így a következő összeg ennek az összegnek az utolsó tagja utáni számmal kezdődhet, ami pont (n+1)² lesz.