Hogy tudom megkülönböztetni a korlátosságot,és szélsőértéket?

A korlátosság és a szélsőérték két különböző matematikai koncepció, és a határérték is egy másik szempont. Nézzük meg ezeket részletesebben:

Korlátosság (boundedness): Egy sorozat vagy függvény korlátosságát arra az intervallumra vagy tartományra vonatkozóan értékeljük ki, ahol az értékei találhatók. Ha egy sorozat vagy függvény minden eleme egy adott intervallumban vagy tartományban található, akkor a sorozat vagy függvény korlátos. A korlátosság lehet alsó korlát (ha minden érték nagyobb vagy egyenlő, mint egy adott érték) vagy felső korlát (ha minden érték kisebb vagy egyenlő, mint egy adott érték), illetve egy sorozat vagy függvény lehet mind alsó, mind felső korlátot tartalmazó korlátos.

Szélsőérték (extremum): A szélsőérték egy függvény vagy sorozat olyan pontja, ahol az érték vagy a maximum (legnagyobb érték) vagy a minimum (legkisebb érték). Az abszolút szélsőérték akkor fordul elő, ha egy függvény vagy sorozat egész tartományában vagy intervallumában nincs olyan pont, ahol nagyobb vagy kisebb értékű lenne.

Határérték (limit): A határérték egy függvény vagy sorozat viselkedését írja le egy adott pont környezetében, ahogy az az adott pont felé közeledik. A határérték az, hogy a függvény vagy sorozat milyen értékeket vesz fel, amikor az független változója egy adott értékhez közeledik vagy éppen azt az értéket veszi fel.

A példádat tekintve:

Sorozat: 3n - 7

Ez a sorozat korlátos, mivel az értékei a -7-től kezdődnek és növekednek, és nincsenek korlátok, vagyis az összes valós szám tartományában megtalálhatóak.

Sorozat: 12n + 6

Ez a sorozat is korlátos, mivel az értékei a 6-tól kezdődnek és növekednek, de nincsenek korlátok.

A határértéket a következőképpen számolhatod ki:

Határérték (n -> ∞) (3n - 7) = ∞ (a sorozat a végtelenhez tart).

Határérték (n -> ∞) (12n + 6) = ∞ (a sorozat a végtelenhez tart).

Mindkét sorozat esetében a határérték végtelen, ami azt jelenti, hogy a sorozatok értékei növekednek, ahogy n a végtelenhez közeledik. Ezért nincsenek abszolút szélsőértékek, mivel nincs olyan pont, ahol a sorozat maximum vagy minimum értéket érne el, és mindkét sorozat korlátos az egész valós számok tartományában.

Egy sorozat három féle lehet. Korlátlan, Divergens, korlátos, határértékkel rendelkező.

Korlátlan egy sorozat, ha tetszőleges A értékhez megadható a sorozatnak olyan n indexe, amelyre │a(n)│ > │A│.

Korlátos egy sorozat, ha létezik olyan A szám, amelyre │a(i)│ < │A│ a sorozat minden tagjára.

Van határértéke egy sorozatnak, és ez az A szám, ha tetszőleges kicsiny epszilonhoz található olyan n index, ahol │A - a(i)│ < epszilon, ha i>n.

Példák:

Legyen a(i) = 2*i. Ez korlátlan, mert ha megadunk egy A számot, akkor minden i>A/2 esetén a(i) > A.

Legyen a(i) = 1+sin(i*Pi/2)/i. Ez a sorozat korlátos, de nincs határértéke, hiszen a sorozat 2, 0, -4/3, 0, 6/5, 0, -8/7... vagyis ez a sorozat soha nem nagyobb kettőnél, egynél, de váltakozva pozitív vagy negatív, vagy nulla.

Legyen a(i) = 1/i Enek a sorozatnak van hatértéke és ez nulla. Valóban, legyen epszilon kicsi, mondjuk egy milliomod, ekkor ehhez az egymillió-egy indexet választva, 1/1000001 < 1/1000000 és ez a későbbi indexek esetén is igaz. Ha még kisebb epszilont választunk, akkor onnan indítva az indexet, a helyzet hasonló.