Hányféle függvény létezik?(tipus)

Ezalapján 11

2.1 Az állandó funkció

2.2 A másodfokú függvény

2.3 A lineáris függvény

2.4 A polinom függvény

2.5 A racionális funkció

2.6 A vonal funkciója

2.7 Az identitásfüggvény

2.8 Köbfüggvény

2.9 Exponenciális függvény

2.10 Logaritmikus függvény

2.11 Abszolút értékfüggvény

Forrás: [link]

"Végtelen." Még ha csak a nevezetes függvényeket is nézzük, akkor is megszámlálhatóan sok van belőlük, attól függően, hogy mennyire mélyedünk el bennük, egyetemen én még bőven tanultam ehhez a listához. Középiskolában még viszonylag jól összeszedhetőek a függvények, amiket nekem tanítottak emelt szintig, azok a következőek voltak:

Konstans függvény, egységugrás fv, abszolútérték fv, exponenciális fv, elsőfokú/lineáris fv, másodfokú/négyzetes/parabola fv, köbös fv (ezeket akár polinom szinten a végtelenségig lehet folytatni), akkor ezek inverzei, pl gyökfüggvény, hiperbola, logaritmikus fv, szögfüggvények (szinusz, koszinusz, tangens, kotangens, szinuszhiperbolikusz, koszinuszhiperbolikusz), egészrész fv, törtrész fv, dirac-delta fv, összetett fv. Biztos van, amit kihagytam, de azért egész jól össze vannak itt gyűjtve az alapok :D

Nem egy egzakt kérdés, hogy típus szerint. Attól függ mit tekintünk típusnak. Valamiképpen tipizálják iskolában is, ahol többnyire csak lenyomják az anyagot, de kimaradnak a finom részletek. Lehet így is tipizálni a függvényeket, de nem jelenti azt hogy csak így lehet.

Egyébként amiket felsoroltatok az mind egy aritású vagy máshogy mondva egyváltozós függvény.

Középiskolában valószínűleg meg se említik, hogy vannak a nulla változós függvények, ezek maguk a konstans értékek. Például. 1, 5, 42.564 stb. Nem szokás, de lehetne így is írni pl. 1() ,zárójelek között nincs argumentuma.

Vannak az egyváltozós függvények amikre írtatok példákat amik közel se teljesek.

Vannak a kétváltozós függvények. Nem így gondolunk rá sokszor, meg jelölésben sem azt tükrözi, de nem ez nem szintaxisfüggő hogy az ami. Méghozzá a 4 alapműveletre gondolok, ezek kétváltozós függvények. Ha így írom pl.: összead(1,5) = 6 máris látszik.

Külön nem mennék bele milyen kétváltozós függvények vannak.

Vannak három, négy ... stb. tetszőleges nemnegatív egész számú aritású függvények léteznek. Ha ezeket mind külön típusnak tekintem akkor végtelen sok függvénytípus van, pedig ezeken belül az egyes típusokat ebben a megközelítésben meg sem különböztettem.

Említettem mind kétváltozós függvényere a 4 alapműveletet, ezekre meg a többire eddig implicit feltételeztük, sőt nem is gondoltunk rá, hogy máshogy is lehetne, hogy értékkészlet és értelmezési tartomány minden esetben a legbővebb halmaz melyen értelmezzük az valós szám vagy esetleg max komplex szám, pedig ott vannak kvanterínók melyek a komplex számok négy dimenzióra kiterjesztése, külön nevük is van egy darabig , de van 8 dimenzióra, 16-ra stb.-re való kiterjesztései is.

Mint tudjuk a valós számok számegyenesen vannak, a komplex számok számsíkon azaz a számegyenes alatt és felett is vannak számok, a kvaterniók 4 dimenziós hipertérben vannak stb.

Még ezeken is felül vannak olyan számok ami a standard számelméleten túli számok, ilyenek például a szürreális számok.

A halmazelméletben a természetes számok mint sorszámok pontosabban mint halmazméret absztrakt kiterjesztése is egyik fajtája a transzfinit számoknak.

Eddig arról beszéltünk hogy értelmezési tartomány és értékkészlet az szám lehet. Pedig lehet számpár is, vagy lehet számhármas, számnégyes ... stb. is. Sőt lehet végtelen számsorozat is. Lehet halmaz. Lehet többváltozós függvény is. Ott aztán lehet variálni, pl. első argumentuma természetes szám, második valós, harmadik, valós számhalmaz, negyedik argumentuma egy pár melynek első tagja kvaternió második tagja olyan halmazok melyen halmazok valós számokat tartalmazó halmazok ... és még lehet százmilliárd másik argmentuma is a függvénynek.

Nem csak számok vagy számhalmazok lehetnek a függvényekben, lehet osztály is, lehet mátrix ,lehet string, lehet formális nyelv ... stb. Habár ezek izomorfak a számok, ill. számhalmazzal ill osztállyal ahol valamilyen formában számok vannak benne.

Lehet típus szerint felosztani a függvényeket bonyolultsági osztály szerint is. Itt számítási időre vonatkozik. Az idő nem a fizikai értelemben vett időre hanem a műveletek számának aszimptotikus függvénye, pl ordóban. Ez lehet pl. lineáris számítási idejű, pl egy véges rendezetlen halmazban való elem keresés (kvázi mint függvény). Lehet logariritmikus idejű, ha rendezett halmaz (triviálisan lehet mindig felezni a keresési teret és természetesen olyan elemekre lehet megtenni melyek között definiált a rendezési reláció). Lehet polinom időben nem elvégezhető pl. a a prímfaktorizáció, amire az RSA titosítás ami része a TLS biztonsági protokollnak.

Aztán lehet még nem számítható függvény is. Ilyen függvény a Chaitin-Ω, ezeket Chaitin's konstansoknak gyakran csak Ω-nak jelölik, mintha csak egy konstans lenne, pedig valójában tekinhető egy függvény képelemeinek. Ez az algoritmikus információelmélet számítástechnikai részterültén van, mondják meglállási valószínűségnek. Bizonyított, hogy az értékük nem számítható ki.

Még például van a busy beaver magyarul elfoglalt hód. Ami az elméleti informatikában egy játék melynek célja, egy adott méretű befejező program megtalálása, ami a lehető legtöbb kimenetet produkálja. Mivel könnyen lehet végtelen ciklust csinálni, így örökké futó programot írni, ezért ezen programok ki vannak zárva a versenyből. A részletekbe nem belemenve megemlítem, hogy mindössze csak 5 állapotú gép esetében már nem ismert melyik program a hódbajnok. jelöljük Σ(n)-el az n állapotú gép hódbajnok amennyi kimenetet produkált. Ekkor ez a Σ(n) függvény létező függvény, de matemaitai értelemben is kiszámíthatatlan és aszimptotikusan gyorsabban nő bármely kiszámítható függvénynél.

Ráadásul eddig vagy kiszámítható vagy kiszámíthatatlan, de definiálható függvényről beszéltem. A legtöbb függvény Martin-Löf véletlenszerű, de mégcsak nem is definiálható. Ezek a függvények pedig kikérhetik maguknak, hogy figyelembe se vesszük őket, de legalább említsük meg hogy az csak csepp a végtelen óceánban amit egyáltalán konkrétan definiálni lehet. Ez úgy értendő hogy magát a halmazt vagy osztályt lehet definiálni mely ezen függvényeket tartalmazza, csak ezek közül konkrét függvényt nem lehet.

Minden kiszámítható függvény eleme a kiszámíthatóan felsorolható függvények halmazának, ami viszont nem számítható halmaz. Ezen halmaz elemei kiszámításának nehézsége egyenértékű a leállási problémával.

@13:32 Szívesen.

Bár lehetne még nagyon részletekbe is menni, csak néhány dolgot még hozzáteszek az előzőhöz.

Gyakorlati szempontból nagy jelentősége van a Boole-algebrának, hiszen minden féle kütyü, informatikai eszköz matematikai alapja, a logikai áramkörök. Kétértékű logikát szokták használni ahol igaz, hamis értékek a halmaz, csak két kifejezés ehhez : diszjunktív normálforma, konjuktív normálforma.

Megemlítem hogy többértékű logikák is léteznek, pl. van 3 értékű logika is. Továbbá létezik fuzzy logika is amely a többértékű logikai szemantikák egyike, nem is konkrétan csak egy logikát jelent a fuzzy logika hanem egy egész elméletcsaládot. Főképpen informatikai alkalmazása van, de pl nyelvtudományi alkalmazása is van. Értelem szerűen ezekre is temérdek függvény létezik.

Szintén nagy gyakorlati jelentősége van és külön még kiemelem az empirikus függvényeket. Statisztikát aki tanul mindenképpen kell hogy találkozzon vele. Tulajdonképpen minden olyan függvény empirikus ami a való világban előförduló valaminek a valami függvényében lévő dolog. Például az egy empírikus függvény, hogy egy adott vonalszámmal rendelkező buszjáraton az idő függvényében mikor hány utas van a buszon.

Említettem előzőleg a kiszámíthatóságot, ott nem olyan információhiány miatt ami úgymond esetlegesség, hanem tisztán matematikailag olyan tulajdonságai vannak így a fejletségi szintünktől függetlenül azok, nem függ attól hogy mennyi számítási kapacitással rendelkezünk. Empírikus függvények esetében vannak olyanok melyeket tudnánk előre számítani, ha többet tudnánk, és/vagy ha nagyobb számítási kapacitásunk lenne, de valamit konkrétan tudunk is pl mikor lesz a következő napfogyatkozás. Viszont azt nem tudjuk előre hogy felhős lesz az ég, mondjuk ez káoszelmélet, nem mennék most bele. Ugyanakkor a fizika megvalósított olyan jelentéseket melyek matematikailag empírikus függvényeket melyek Martin-Löf véletlenszerűek, nem számíthatóak (,de fizikailag mérhető) és nem ok-okozati jellegűek, amiért ki is lett osztva idén a fizikai Nobel-díjak, azaz a kvantum-összefonódásból adódó empírikus függvény. Amit már egyébként évek óta kihasználnak kvantumkriptográfiában, a One-time pad kvantum-összefonódással kiterjeszett megvalósítása, amit egyébként a katonaság is kihasznál.

Amit meg említettem mint halmazmérethez kapcsolódóan mint a természetes számok absztrakt kiterjesztése, a transzfinit számok egy fajtája amely túlmutat a klasszikus értelemben vett számoktól, ahol vannak végtelenül nagy értékek még még durább végtelen értékek, szerintem nagyon érdekesek. Ha érdekel magyarul rendszámnak hívják ill. halmazelméleti rendszámnak, az angol szakirodalomban ordinal number-nek hívják. Véges esetben izomorfak a természetes számokkal, így igazak rá véges esetben a peano axiómák.

Nyilván nem ugyanazt csinálja egy autovillamossági szakterületen elhelyezkedett villamosmérnök mint aki az űrkutatásban dolgozik.

Gyakorisági listát nem is hallottam, hogy bármikor is készítettek erről ami reprezentatív ráadásul.

Ami előfurdul villamosmérnöki számításoknál pl. : konvolúció; dekonvolúció; korrelációs függvények; átviteli függvény így a Laplace-transzformáció; Fourier transzformáció; deriválás; integrálás; komplex függvények ... meg még biztos lehetne folytani a sort ill. részletezni.

Hááát... Ez a kérdés egy kicsit macifánkos. :)

Az sem világos, hogy honnan hova képező függvényekre vagy kíváncsi, de feltételezem, hogy a klasszikus egyváltozós R->R függvényekre. Az a jó nagy csoport, amit mindenki emleget, mint függvények, azok az ún. elemi függvények. Sajnos matematikából elég művelt emberektől is visszahallok ennek kapcsán hülyeségeket, az elemi függvény egy pontosan definiált függvényosztály, amibe valami vagy beletartozik, vagy nem.

Elemi függvénynek nevezzük az algebrai vagy transzcendens függvényeket.

Az algebrai függvények két nagyobb függvényosztályra bomlanak, a racionális és irracionális függvényekre, előbbi pedig a racionális egész (magyarán polinomfüggvények) és racionális törtfüggvényeket tartalmazza. Két definiálandó dolog maradt:

Irracionális függvény: olyan függvény, amely független változóból, és valós számokból véges sok összeadás, kivonás, szorzás, osztás ÉS egész kitevőjű gyökvonás útján állnak elő

Transzcendens függvény: irracionális kitevőjű hatványfüggvény, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus és ciklometrikus függvények, és ezekből összetett függvények.

Ezeket részben azért szeretjük, mert relatíve könnyű számolni [bár könnyű adni akár kézzel is olyan polinomfüggvényt is, amelynek a kiértékelése egy adott helyen számítógéppel is nagyon nehéz és óriási hibák fordulnak elő, de ez a numerikus matematikára tartozik], másrészt mert jól viselkednek határérték, folytonosság, differenciálhatóság és Riemann-integrálhatóság szempontjából.

De nagyon könnyű nem elemi függvényt adni, pl. az f: R->R f(x)=|x| függvény már nem elemi függvény, és nem is viselkedik szépen például differenciálhatóság szempontjából, mert bár értelmezve van a 0-ban, ott folytonos is, de nem differenciálható ott. (Ez egy szép tankönypéldája, hogy a folytonosságból NEM következik a differenciálhatóság.)

Azonban vannak olyan gyakorlati élet által előhozott függvények, melyeket szintén nem lehet beleszuszakolni az elemi függvények körébe, ilyen például a gamma-függvény, ami nagyjából mindenütt előkerül előbb-utóbb (Bár többféle függvényt is nevezünk gamma-függvénynek, de én most a közismert, \gamma (s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt. függvényt értem).

Különben... Hogy miért hoztam fel azt, hogy nem mindegy, honnan hova képez a függvény, annak az az oka, hogy... Most sokan agyvérzést fognak kapni, többváltozós függvényeknél akár az is lehet, hogy egy adott halmazra nézve folytonos egy függvény egy adott pontban, egy másikra nem. Vagy még elvetemültebb, hogy adott halmazra nézve lehet, hogy van valami határértéke, másik halmazra nézve az se biztos, hogy van határértéke. Itt jönnek elő a finomságok.