Eltudnátok magyarázni a lim f(x) szabályait érthetőbben? Minden féle függvény szükséges lehet a számomra. És példát is elfogadnék. :)

A határérték számítás, meg a definíció nem ugyanaz. Az, hogy a formális határértékszámítás mért egy legitim dolog, az nem magától értetődő, azt magyarázni kell.

A határérték valamilyen értelemben a függvény viselkedéséről ad számot egy adott pont környékén. Azt a fogalmat absztrahálja, hogy mit jelent az, hogy "oda tart"/"oda megy". Vegyünk egy nagyon egyszerű példát:

Legyen f(x)=x+2 Meg akarlak győzni, hogy ez a függvény 4-hez megy, ha x a kettő környékén van. Hogy tudom ezt megtenni? Például úgy, hogy azt mondom neked, hogy a 2-höz nagyon közel menve, a függvény értéke nagyon közel van a 4-hez. Hát mondjuk nézzük meg, hogy ha x a 2-höz mondjuk 0,1.nél közelebb van, akkor mennyi lehet a függvény eltérése a 4-től. Hát nagyon egyszerű, akkor a függvény 3,9 és 4,1 között van. Jól láthatólag tényleg, 4 körül mozognak a függvényértékek, ha az x a 2-höz ilyen közel van. Nézzük most meg mi van, ha az x a 2-höz mondjuk 0,001-nél közelebb van. Hát akkor a függvényértékek 3,999 és 4,0001 között mozognak, ez már tényleg majdnem négy.

Most próbáljuk meg formalizálni a fenti gondolatmenetet. Azt mondom, hogy minden ε pozitív számhoz meg tudok adni egy olyan δ pozitív számot, hogy ha az x a 2-höz δ közel van, akkor a függvényérték a 4-hez már ε közel lesz. Mit is jelent az, hogy x a 2-höz δ közel van? Hogy az ELTÉRÉSÜK δ-nál kisebb. És hasonlóan, mit jelent az, hogy a függvényértékek ekkor ε közel van? Hogy a függvényértékek ELTÉRÉSE ε-nál kisebb.

Azaz, ha 0<|x-2|<δ, akkor |f(x)-4|<ε. (Arra, hogy az első egyenlőtlenségnél mért raktam oda egy 0-t, később kitérek.)

Oké, lépjünk eggyel tovább. Vonatkoztassunk most el a konkrét x+2 függvénytől. Azt mondom, hogy legyen az f függvény értelmezve az 'a' szám egy pontozott környezetén. Azaz az a-ban nem is kell, hogy értelmezve legyen a függvény. Ezért tettem oda a 0-t.

Tehát így a formális, precíz definíciója a határértéknek, helyesebben a véges helyen vett véges határértéknek:

Legyen az f függvény értelmezve az 'a' szám egy pontozott környezetén. Ekkor az f függvény határértéke az 'a' helyen a 'A' szám, ha minden pozitív ε-hoz létezik olyan (ε-tól függő) pozitív δ, hogy ha 0<|x-a|<δ, akkor |f(x)-A|<ε.

Ez az ún. Caughy-féle definíció. Van egy másik is, ami gyakran fölmerül, a Heine-féle definíció. Ezek ekvivalensek. Hol az egyiket, hol a másikat célszerűbb használni.

És akkor innen már lehet továbblépni, lehet értelmezni végesben vett végtelen határértéket, végtelenben vett véges és végtelen határértéket, féloldali határértékeket végesben, végtelenben stb. Ez összesen 30 darab definíció. :D De az alapkoncepció a végesben vett véges határértékre ez.

De pl, ha nézem a lim x->2 (x-2)/(x-2) határértéket, akkor azért legitim lépés azzal az x-2-vel egyszerűsíteni, mert a definícióban PONTOZOTT környezetről beszélünk. Részletkérdés és finomság, tudom, de az, hogy formálisan tudunk határértéket számítani, az nem egy magától értetődő dolog.

Ha esetleg van kérdés, jöhet. :)