Matematika, szig mon nő?

A szigorú monotonitás azt jelenti, hogy a függvény nagyobb x értékhez mindig nagyobb y értéket rendel hozzá.

Ha x1 < x2, akkor f(x1) < f(x2)

Azaz a függvény mindig növekszik, állandó sem lehet.

Ez azért lehet itt érdekes, mert ennek következtében a függvény kölcsönösen egyértelmű. (Azaz nem csak az x -> f(x) hozzárendelés egyértelmű, hanem az f(x) -> x hozzárendelés is egyértelmű lesz. Egyszerűbben: a függvény minden értéket csak egy helyen tud fölvenni.)

Ha ez nem így lenne, akkor az egyenletet sem lehetne így egyértelműen megoldani.

Például az x^2 függvény nem kölcsönösen egyértelmű, hiszen például a 4 értéket két helyen is felveszi (2 és -2). Így az x^2 = 4 egyenletnek két megoldása is lesz.

(Remélem, sikerült jól leírnom. A szakkifejezésekben nem vagyok biztos, de majd remélhetőleg egy hozzáértő kijavít.)

Hogy értsd; ha ugyanazt a számot ugyanarra a számra emeled, akkor mindig ugyanazt az eredményt kapod. Például a 7^12548 és a 7^12548 esetén anélkül tudod, hogy egyenlőek, hogy kiszámolnád a pontos értéküket. Tehát ha az alap azonos, akkor két hatvány érték egyenlő, hogyha a kitevők egyenlőek.

Azt is tudod, hogy a 7^12548 hatványban a kitevőbe kisebb számot írsz, akkor az eredmény is kisebb lesz, ha pedig nagyobbat, akkor nagyobb lesz. Ez azt jelenti, hogy a 7^12548 hatvány csak és kizárólag a 7^12548 hatvánnyal lehet egyenlő a 7^valahanyadikon hatványok közül.

Tehát ha egyenlővé tesszük a kitevőket, akkor megoldást kapunk (vagy nem), de ezen kívül más megoldás nem jöhet szóba.

Nem is lenne fontos azt odaírni, hogy a függvény szigorúan monoton, ugyanis nem minden alakú egyneletben fordul elő, hogy szigorú mononoton függvényekkel dolgozunk, de a szigorú monotonitásra való hivatkozás egy kicsit erősebb annál, minthogy a függvény kölcsönösen egyértelmű.

Még rövidebben: az egyenlet megoldása közben nem kell esetszétválasztással dolgozni, mivel csak 1 eset van (amikor a kitevők egyenlők).