Ha túlságosan nagy az n és a k, hogyan lehet kiszámolni n alatt a k értékét?

Ahhoz, hogy meg tudd határozni az utolsó számjegyeket, nem szükséges a konkrét számértéket ismerni. Egyébként meg lehetetlen meghatározni pontosan, mert olyan nagy számról van ebben az esetben szó, de becsülni lehet az értékét (nagyságrendjét).

Nagy varázslat nincs benne; 5 darab 0-ra végződik. Ha gondolkozol egy kicsit, te is rá tudsz jönni a miértjére.

"Hány tízzel osztható (nullára végző) van közöttük? Annyi nulla lesz a végeredményben."

Az állítás részben igaz. Azonban a 125*44-ben sincs egy darab 0-ra végződő sem, mégis 5500 az értéke, ami két darab 0-ra végződik.

A precíz megfogalmazás inkább úgy szól, hogy ahány 5-öst ÉS 2-est tartalmaz a szám prímtényezős felbontása, annyi darab 0-ra végződik. Például az 1100 prímtényezős felbontása 2^2 * 5^3 * 11. Ez a szorzat két darab 2-est ÉS 2 darab 5-öst tartalmaz (tartalmaz 3-a is, csak a harmadiknak "nincs párja"), amik szorzata kiadja a 100-at, és emiatt fog két darab 0-ra végződni a 125*44 értéke.

Amit korábban írtam, az még mindig áll; mivel egy irdatlan nagy számról van szó, ezért a precíz prímtényezős felbontást sem tudjuk felírni. Arra sem nehéz rájönni, hogy nagyságrendileg több párost (vagyis 2-es szorzót) tartalmaz a szám mint 5-öst, így nekünk elég az 5-ösök számát meghatározni (illetve elég azt belátni, hogy 5-nél több van belőlük, ha az esetleg könnyebb).

Az biztos, hogy ha használjuk az (n alatt a k) definícióját, akkor egy olyan törtet kapunk, amelynek a számlálója és nevezője egyaránt 2^100 darab tényezőt tartalmaz, azonban a 3^100 kb. 20 nagyságrenddel nagyobb, mint a 2^100;

a 3^100 számjegyeinek száma: [lg(3^100)]+1 = [100*lg(3)]+1 = [~47,7]+1 = 47+1 = 48

a 2^100 számjegyeinek száma: [lg(2^100)]+1 = [100*lg(2)]+1 = [~30,1]+1 = 30+1 = 31

Tehát a 3^100 kb. 10^17-szer nagyobb, mint a 2^100. Mivel ilyen nagy a két szám hányadosa, ezért a belőlük képzett szomszédos számok szorzatában a 3^100 esetén egy rakat 5-ös található (de 5 biztosan), ezért lesz az, hogy az eredmény utolsó 5 számjegye 5 darab 0. Például azt is meg tudjuk határozni, hogy a 2^100 és a 3^100 alatt melyik az a szám, amelyik a legtöbb 5-ös prímtényezőt tartalmazza;

2^100 > 5^n, vesszük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát:

lg(2^100) > lg(5^n), használjuk a III. logaritmusazonosságot:

100*lg(2) > n*lg(5), ennek megoldása ~43,06>n, tehát az 5^43 a legnagyobb ilyen szám.

Ugyanez 3^100-ig: 100*lg(3) > n*lg(5), ennek megoldása ~68,26>n, vagyis az 5^68 a legnagyobb ilyen szám.

Ebből is látható, hogy legalább 25 darab 5-ös szorzótényezőnek nincs párja a nevezőben (meg a többi, amit nem számoltunk még meg), ami bőven lefedi az 5 darab 5-ös szorzót, ami a 00000 végződéshez kell.

Ha valaki az első 5 számjegyet is megmondja, az előtt le a kalappal! :D

(Lehetséges!!!)

Egyik válasz sem győzött meg. Még a 00:05-ös sem.

Levezetésnek van nevezve, de valójában nem az, pontosabban az egy levezetés, de nem annak levezetése amiről a kérdés szól. Azt levezette hogyha számláló nevező formában felírjuk szorzat alakba a számot a szorzási képlet szerint ( [link] akkor mindkettőből melyik az amelyik a legtöbb 5-öst tartalmazza. Az nyilvánvaló hogy 5-ös és 2-esből párban kell lennie a prímtényezős felbontásában és ahány ilyen szabad pár maradt a számlálóban egyszerűsítés után annyi 0-ra végződik, feltéve ha maradt ilyen pár egyáltalán. Ebből a maximális 5-ös tényezőt ez a konkrét szorzótag tartalmazza prímtényezőibe nem látom sehol magától értetődőnek hogy ne hozná vissza más szorzó tényezőkben a lemaradást, prímtényezős felbontásban a nevező.

Az hogy mennyi az első 5 számjegye az numberikusan számolható az biztos, a gamma függvény segítségével ez megldható. binomial(3^100,2^100) ~ 3.63067068551116e+22872752684348361349891119730434 . Amit kiadott numerikusan a jupyter (bár én rábíztam hogy gammával vagy hogy oldja meg) aminek megadtam, ez az érték amit kaptam.

Az előbb linkelt wiki oldal szerinti szorzási képlet szerint a 2-es és 5-ös prímtényezők szerint az első 6 ezer tag 2-es és 5-ös prímtényezős felbontása : [link]

Nagyon sok szöveget nem engedett a pastebin ezért csak 6 ezer tagig mutatom a 2-es és 5-ös prímtényező számlálást. A wiki oldal szerinti képlet szerint vett számláló 2-es és 5-ös prímtényezős tagja a számlálóban majd ugyanazon sorban a nevezőben egy pontos vesszővel elválasztva és mindig az eddig megszámolt összes ilyen prímtényezős taghoz hozzáadva van számlálva soronként. Hasraütésre például a 4416.-os sorszámú tagnál azaz sornál 2:4418 , 5:1102 ; 2 : 4413 , 5 : 1102 , döntetlen az állása az 5-ös tagoknak a számlálóba és a nevezőbe. 4721.-es sorba 2:4723 , 5:1178 ; 2 : 4715 , 5 : 1177 , már eggyel vezet a számláló 5-öse. stb. Ha befogadná a pastebin akkor például látszódna hogy százezres nagyságrendű sorba is lenne döntetlen állás azaz egyforma darab 5-ös van számlálva a számlálóba és a nevezőbe addig. Persze nyers erővel nem tudom végig számolni számítógéppel se az abszolút pontos számértéket, se a prímtényezős felbontást.

Előzőnek igaza van, #4 téves következtetést vont le:

"Ugyanez 3^100-ig: 100*lg(3) > n*lg(5), ennek megoldása ~68,26>n, vagyis az 5^68 a legnagyobb ilyen szám.

Ebből is látható, hogy legalább 25 darab 5-ös szorzótényezőnek nincs párja a nevezőben..."

NEM 3^100-ig érdekes, hanem 3^100-2^100+1 és 3^100 KÖZÖTT!

És ebben az intervallumban még 5^44-gyel osztható szám sincs.

Másképp: a levezetéseddel binomial(3^18, 2^18) is legalább 4 nullával végződik, pedig eggyel sem:

[link]

Egyáltalán nem precíz levezetést adtam, csak szemléltetni akartam, hogy a számlálóban „sokkal több” 5-ös szorzó van, mint amire szükségünk van. Úgy lehetett volna még folytatni, hogy az 5^n-eneket összeszorozzuk a számlálóban és a nevezőben (a többi 5-tel osztható számban lévő 5-ös tényező „elhanyagolható”), ezzel megkapva, hogy azok hány 5-ös szorzót adnak, és ezeket összevetve jobban látszik, hogy merre érdemes továbbindulni.

Mivel még viszonylag emberi számokról van szó, a konkrét példa egyik lehetséges bizonyítása, hogy a 2^100-nt, a 3^100-nt és ezek különbségét elosztjuk 5-tel, 25-tel, 125-tel, ... 5^n-nel, ezeket a hányadosokat egészre lekerekítjük, majd az így kapott kerekítéseket összeadva kapjuk, hogy a számig PONTOSAN hány darab 5-ös szorzótényező van. Abból pedig ténylegesen megmutatkozik, hogy hány nullára végződik.

Ezzel a bizonyítással csak annyi a gond, hogy egyrészt „csalnunk kell” (valamilyen segédprogramot fel kell használnunk), másrészt ha már nem 100, hanem 1000 lenne a kitevőben, akkor már ezt sem tudnánk használni.

@15:52

Amiket állítasz itt már kezdve azzal hogy - a számlálóban „sokkal több” 5-ös szorzó van, mint amire szükségünk van- azokat az állításokat amire alapozol kvázi axiómának tekintve, úgy írod hogy azok mint akinek teljesen triviálisak, nekem egyáltalán nem azok, valamint meglátásom szerint másnak se (feltétlen nyilvánvaló), csak legfeljebb elhiszi minden féle kritika nélkül, bele se gondolva. Nem tudom mi valójában a helyes válasz a kérdésre.