Hogyan működik a határérték számítás?

> Először is arra lennék kíváncsi, hogy a törtekből miért lett nulla.

Ahogy x tart a végtelenhez, úgy mondjuk a 4/x vagy a 8/x² esetén egyre nagyobb és nagyobb számmal kell osztani egy konstanst. Ahogy x a végtelenhez tart, úgy egy c/xⁿ alakú tört értéke (n>1 esetén) a nulla fele. Kevésbé egzaktul megfogalmazva ha azt a bizonyos 4-et végtelen sok részre osztod, akkor baromira nem marad semmi.

> Illetve a második példánál hogyan lett abból a két törtből -végtelen és +végtelen?

Itt a kulcs az, hogy 2-re kiszámolva egy c/0 típusú határértéket kapsz. Ugye ha a számláló véges, és a nevező a nulla felé tart, akkor a tört a végtelenhez tart… Vagy a mínusz végtelenhez. Nézzük:

2/0,1 = 20

2/0,01 = 200

2/0,001 = 2000

2/0,000001 = 2000000

2/0,00…nagyon…sok…nulla…001 = 200…nagyon…sok…nulla…00

…

De:

2/-0,1 = -20

2/-0,01 = -200

2/-0,001 = -2000

2/-0,000001 = -2000000

2/-0,00…nagyon…sok…nulla…001 = -200…nagyon…sok…nulla…00

Tehát nem mindegy, hogy pozitív vagy negatív irányból tartunk-e a végtelenhez. Az, hogy megnézte a határértéket 1,9-re is, meg 2,1-re is, ott már csak az a lényeges, hogy ezek határértékei azonos, vagy különböző előjelűek-e. Ha azonosak, akkor a c/0 típusú határértéknek is ez lesz az előjele. Ha viszont különbözőek, akkor nincs határértéke a függvénynek.

Pl. az 1/x függvénynek nullában nincs határértéke, mert ha negatív számoktól közelítünk a nullához, akkor a tört értéke negatív lesz, ha pozitív oldalról, akkor pozitív. Talán szemléletesebb: [link]

Az 1/x² függvénynek viszont végtelen a határértéke, mert negatív és pozitív oldalról közelítve a nullához, a tört mindkét esetben pozitív marad. Lásd: [link] ^2

Vannak alaphatárértékek, amiket nem árt fejből tudni. Ilyen a

lim 1/x,

x->végtelen

melynek értéke 0. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy minél nagyobb számot írsz a függvényben (vagy sorozatban) x helyére, annál közelebb kerülsz a 0-hoz, viszont a 0-t el nem éri. Érdekesség, hogy ez az egyetlen sám, amire igaz a fenti állítás. Definíció szerint belátható, hogy például a 0,0000000001-re ugyanez nem igaz (az a nagyon furcsa epszilonos definíció). Persze a "nem éri el" kitétel nem mindig igaz, mondható olyan függvény, ami akár végtelenszer is felveszi a határértékét, ilyen például a

lim sin(x)/x

x->végtelen

határérték, aminek értéke 0. Az ilyen jellegű határértékeket már nehezebbh algebrai úton belátni a definíció segítségével (attól még a definíció igaz lesz rá), ezért más eszközöket is kitaláltak, ilyen például a csendőrelv (szokták rendőrszabály vagy szendvicstétel néven is emlegetni), vagy a L'Hospital-szabály, ami speciális alakú határértékek esetén használható, azokhoz deriválni kell tudni.

A második kérdésedre a válasz: ugyancsak az 1/x határértékét érdemes tudni, viszont most a 0 környezetben vizsgálódunk:

lim 1/x,

x->0+

ennek az értéke végtelen. Egyfelelől biztosan láttad már az 1/x függvényt (hiperbola a becsületes neve egyébként), a pozitív számok halmazán ahogy egyre kisebb számot írunk x helyére, annál nagyobb értéket kapunk, és mindig egyre nagyobbat. Persze ettől még éppen lehetne véges is a határérték, viszont egy másik szabály szerint (hányadoskritérium) +végtelenhez fog tartani. A "0+" résznél a + nem véletlenül van ott; az azt jelenti, hogy a 0-t "jobbról közelítjük", vagyis 0-nál nagyobb számokat írunk x helyére. Ennek megfelelően az 1/pozitív hányados előjele pozitív lesz, így lesz + végtelen a határérték. Ezt hívjuk jobb oldali határértéknek.

Ha a

lim 1/x

x->0-

határértéket nézzük, akkor hasonló a helyzet, annyi különbséggel, hogy a 0-t balról közelítjük, tehát annak értéke mindenképp negatív, és az 1/negatív miatt a határérték előjele mindenképp negatív, viszont egyébként tudjuk, hogy végtelen, tehát az érték -végtelen lesz, ez a bal oldali határértéknek.

Általában elmondhatjuk, hogyha "nem0"/0 alakú a határérték, akkor az érték végtelen vagy -végtelen, az előjelet a számlálő és a nevező előjelének hányadosa adja (ahogy úgy kb. 6. osztályban tanultuk). Ezért is írja oda, hogy c/0 típusú, azoknál pont ugyanaz a gondolatmenet, mint az 1/x esetén. Viszont arra vigyázzunk, hogy a 0/0 alakú úgynevezett határozatlan alakú határérték értéke akármi lehet, vagy még az sem. Ilyen esetekre van a L'Hospital-szabály.

A határérték-számítás egyébként egy elsőre nehéz témakör, mivel egy teljesen új gondolatmenetet igényel, amit nem tanítanak középiskolában. Ha viszont sikerült megérteni, akkor nagy problémák nem lesznek.

A jobb megértés érdekében ajánlom figyelmedbe a Thomas-féle kalkulus című kiadványt, az analízisoktatás szent gráljaként szoktak rá hivatkozni. Kicsit borsos ára van, pláne, ha az összes kötetet újonnan akarod megvenni, de megéri, viszont pdf-ben is megtalálható. Valószínűleg az egyetemen is abból fogtok tanulni.

nem a törtekből lett nulla, hanem a határértékük lett nulla, amúgy ebben a feladatban kb ránézésre ordít az eredmény.

(3/-1)+5 = -3+5 = 2. Mivel MINDIG a legnagyobb fokú tagok együtthatójával kell lematekozni az általános iskolás ötödikes matekot.

amúgy erről sokkal jobb vidók vannak, ha külföldi csatornák világába megyünk.

Pl: https://www.youtube.com/watch?v=wK8WuTEc0ns

itt olyan példa van kb 10 perc 6 másodpercnél, ami nem végtelenben hanem egy konkrét pontban (itt -2) keresi a határértéket, de ennek a függvénynek végtelen esetén ez ránézésre -1/3 lenne, mert ezek a legnagyobb fokú tagok együtthatói.