Matematikában a szorzásjel elhagyása helyettesítheti a zárójelet?

A negatív előjel egy mínusz eggyel való szorzást jelent, összetett kifejezésben a szorzásnak megfelelő precedencia szerint válik vagy nem válik el a számtól vagy egyéb szimbólumtól.

-3^2 = (-1) * (3^2)

"Elvileg az előjel a szám elválaszthatatlan része"

Ez nagyon félreérthető, és általában félre is értik. Csak annyit jelent, hogy nem szúrhatunk be közéjük akármit, de amúgy megfelelő módon elválasztható.

Pl: -5*2 = -(5*2)

> A negatív előjel egy mínusz eggyel való szorzást jelent

Lehet akár így is értelmezni, bár jellemzően nem ez szokott lenni a meghatározás. Inkább szoktak a mínuszjelre úgy hivatkozni, mint egy adott szám vagy kifejezés additív inverzének jelölésére, azaz a -3 az a szám, amit az előjel nélküli változatával – a 3-mal – összeadva 0-át kapunk. Más megközelítésben egyfajta kivonást is jelent, a -3 nem más, mint a nullán végzett kivonás: -3 = 0-3. Másrészt viszont a mínuszjel a számkonstans esetén tényleg a szám elválaszthatatlan része, nem művelet, hanem jelölés.

( Ugye a kérdéskör azért is érdekes, mert a matematikában vannak különböző műveletek, és bár sokszor ugyanúgy jelölünk műveleteket, és ugyanaz is az eredményük, mégis két különböző műveletről beszélünk. Ugye az osztás és a bennfoglalás két teljesen különböző művelet, az általános iskola első éveiben meg is különböztetik egymástól, majd később szimplán csak osztásra redukálódik az elnevezés is, meg a jelölésmód is, a : jelet ritkábban használjuk, gyakoribb a tört, illetve a / jel, és itt már a műveleti jelek nem feltétlenül reprezentálják a valódi műveletet. És a vesszőparipám az, hogy pont akkor kezdik elhagyni a két művelt megkülönböztetését, mikor igazán szükség lenne rá. Azt, hogy 3-at osszunk el féllel, azt nem lehet értelmezni,

osztani csak egész számmal lehet. Azt viszont lehet értelmezni, hogy 3-ban mennyiszer van meg a fél. Oké, nyilván van egy szint, mikor ki kell alakulnia a matematikának egyfajta absztrakciója, de kicsit túl korán feltételezi az oktatás, hogy már kialakult. )

Visszakanyarodva a mínuszjel is ilyen egy kicsit. A legtöbbször az eredmény ugyanaz, de mégis különböző jellegű műveleteket reprezentál, és a -3² jellegű kifejezéseknél pont érdemes lenne megkülönböztetni ezeket, mert pont ott lenne lényeges, hogy melyik műveletről is van szó.

Nota bene vannak programnyelvek, amik a negatív előjelre használnak más jelölést, felső indexbe tett mínuszjelet, máshol meg aláhúzásjelet. A legtöbb programnyelvben viszont nincs ilyen külön jelölés. Ezeknek a nagy részében az előjel tulajdonképpen művelet, az additív invert képzésének a művelete, aminek a precedenciája az összeadással, kivonással azonos, így a -3^2 ezekben -9 lesz. De itt is van kivétel, pl. az Excelben, meg az ezzel kompatibilissé válni akaró táblázatkezelőkben a -3^2 eredménye 9 lesz.

Még inkább visszakanyarodva a kérdező eredeti kérdéséhez, az még inkább megosztó kérdéskör, hogy az operátor-írással jelölt szorzás jelent-e műveleti elsőbbséget. A komolyabb számológépeknél már sokkal kevésbé egységesek ebben, az egyiknél igen, a másiknál nem. És mivel a matematikának nincs egy központi szabályozása, ezért bárki joggal teheti meg, hogy egy adott matematikai kifejezést ő egy általa megadott módon értelmezzen, és ezt az értelmezést használja, ezt írja bele a számológép felhasználói kézikönyvébe.

-(-2)^2 = (-1) * (-2)^2

"Más megközelítésben egyfajta kivonást is jelent, a -3 nem más, mint a nullán végzett kivonás: -3 = 0-3"

Ez így van, csak ez nem igazán segít a precedencia és "elválás" kérdésében. Vagy legalábbis nem könnyíti meg. Bár az is igaz, hogy a -1 -el való szorzás meg rekurzív, mert a -1 -et így nem lehet meghatározni, viszont valamivel talán kezelhetőbb.

#15> Ez így van, csak ez nem igazán segít a precedencia és "elválás" kérdésében.

Valóban, „az ellen nem véd”.

> Egyértelműbb, hogy -3² az -9, és nem (-3)².

Neked. :-) (Amúgy nekem is ez az értelmezés *tetszik* jobban.) Az Excelnek, megy egy régebbi hasonló kérdésben egy másik válaszolónak viszont nem. És az az álláspont sem kevésbé védhető, mint a mienk.

> Mert ha nem a hatványozást végezzük el előbb (ha nincs zárójel), akkor szorzásnál is így kéne, tehát: 2+5*7 = 7*7 = 49

Ez más tészta. Itt van két jól érthető művelet, meg három jól érthető számjelölés. A precedencia szabály alapján a kiértékelés egyértelmű.

A -3² esetén viszont az egész előtt van egy előjel. Az előjel nem művelet. Vagyis hát tulajdonképpen az. Illetve nem… De igen… De nem… Mindenesetre többféle változata van a precedenciaszabálynak. Láttam olyat is, amiben az van írva, hogy az egyenrangú műveleteket balról jobbra – hatványtorony esetén fentről lefele – *kell* kiértékelni, meg láttam olyat is, amiben azt fogalmazták meg, hogy az egyenrangú műveletek tetszőleges sorrendben végezhetőek el, de a legtöbbször szokás balról jobbra kiértékelni. (Talán ez utóbbi pont a 3x/2x jellegű kifejezéseknek hagy kiskaput.) Néha tartalmazza a faktoriálist is a precedenciaszabály, néha meg nem.

Mindenesetre nem találkoztam még olyan változatával a precedenciaszabálynak, ami az előjel kérdéskörét tisztázta volna.

~ ~ ~

Amúgy mindig eltűnődök azon, hogy mekkora katyvasz is a megszokott matematikai jelölésrendszerünk.

1. Egyértelmű jelölésmód lenne az prefix és az posztfix írásmód, csak az átláthatatlan, nehéz átlátni, hogy mik egy-egy művelet operandusai. Egy hibát megtalálni egy levezetésben meg agyrém lenne. Pl. a másodfokú egyenlet megoldóképlete így nézne ki prefix, illetve posztfix írásmódban:

/(±(-(b),√(-(^(b,2),*(4,a,c))),*(2,a))

(((b)-,(((b,2)^,(4,a,c)*)-)√)±,(2,a)*)/

És ennek ellenére van, ahol használjuk a prefix írásmódot, főleg függvények esetén. Illetve tulajdonképpen a negatív előjel, mint egy additív inverzet képző egyoperandusú művelet, szintén prefix írásmód. A posztfix írásmódot bár ritkábban, de szintén használjuk egyoperandusú műveleteknél, pl. a faktoriálisnál.

2. A lengyel írásmód – amiből a postfix jelöléssel még lehet itt-ott találkozni – is egyértelmű lenne, nincsenek a hülye zárójelek, a műveletek sorrendje egyértelmű, csak azzal is az a baj, hogy nem lehet átlátni, hogy ki kivel van. Pl. a másodfokú egyenlet megoldóképlete lengyel posztfix írásmóddal:

b - b 2 ^ 4 a * c * - √ ± 2 a * /

3. Az operátor és az index írásmód esetén nincsen műveleti jel, így nem lehet leírni minden műveletet ezekkel. Viszont ezeket is használjuk, az operátor írásmódot pl. a szorzásra, az felső index írásmódot a hatványozásnál, tetrációnál, az alsó indexet is sok helyen. Az index írásmóddal meg extra probléma, hogy nem lehet sima szöveges módon szépen jelölni, bár ez még valamennyire megoldható:

x² → x^2

log₂x → log_2 (x) vagy log{2} x

4. Az infix írásmódot használjuk leginkább, ami azért jó, mert az operandusok és a műveleti jel közel vannak egymáshoz. Viszont ezzel leginkább kétoperandusú műveletek írhatók fel jól. És ahogy fentebb, meg lentebb is látható, nem következetesen használjuk az infix írásmódot ott sem, ahol használható lenne.

5. Mert ugye vannak még az egyéb, extra, a fentiekbe be nem sorolható műveleti jelek, pl. a gyökvonás – a maga fura indexével –, aminél a felső vonal jelöli, hogy meddig tart az operandusa. Vagy ilyen a törtvonallal jelölt osztás, a binomiális, a felülvonás pl. számjegyek, komplex konjugált és hasonlók jelölésére. Illetve az abszolút érték, vagy a kerekítés is tulajdonképpen egy egyoperandusú művelet, és nem műveleti jellel, hanem – sajátos módon – zárójelszerű jelöléssel jelöljük. A hatványozás egyik inverz művelet – a gyökvonás – kapott saját jelölést, a másik inverz művelet – a logaritmus – meg nem. A függvényeknél általában zárójelben vannak a paraméterek, de pl. a trigonometrikus függvényeknél lazán elhagyjuk. Sőt a trigonometrikus függvényeknél a hatványozást is sajátos módon jelöljük: sin(x)² → sin²x. Az alá, sőt az alá és fölé írást már ne is említsük, lásd: szumma, produktum, limesz, integrál stb…

Szóval van itt minden, mint a moziban. Innen nézve nem az a csoda, hogy vannak nem teljesen egyértelműen értelmezhető matematikai kifejezések, hanem az a csoda, hogy a matematikai kifejezések javarészt mégiscsak egyértelműen értelmezhetők.