Az véletlen, hogy a Fibonacci-számok közül a prímszámok sorszámai is prímszámok?

A matematikában nincs olyan, hogy véletlen. Olyan előfordulhat, hogy valamit tapasztalunk a matematikában, de nem tudjuk bizonyítani valamilyen oknál fogva, de az attól még nem lesz véletlen.

Ha jól tudom, akkor a Fibonacci-sorozat tagjaira általában jellemző, hogy n>=3 esetén ha F(n) osztható egy számmal, akkor minden k pozitív egészre F(k*n) is osztható lesz ugyanazzal a számmal. Például ha megnézed az F(4), F(8), F(12), ... tagokat, akkor azok mind oszthatóak 3-mal. Vagy az F(5), F(10), F(15), ... tagoknak mind osztója az 5. Ezeknek a bizonyítása olyan szempontból egyszerű, hogy csak teljes indukciót kell használni, a gyakorlatban viszont minél nagyobb sorszámot veszünk, annál több indukciós lépést kell használni. Például az F(11)=89 osztható 89-cel, ami prímszám, akkor az F(22) bizonyítása így néz ki:

F(22) = F(21)+F(20) = F(20)+F(19) + F(19)+F(18) = F(19)+F(18) + F(18)+F(17) + F(18)+F(17) + F(17)+F(16) = .... és akkor ennek a vége az lesz, hogy valahány*F(12)+másikvalahány*F(11), az F(11) osztható lesz 89-cel, így a másikvalahány*F(11) is, a valahány*F(12)-ben pedig a valahány lesz osztható 89-cel, így az összegük is osztható lesz 89-cel. Ha van kedved/türelmed, vezesd végig, és meglátod.

Önmagában már ez a tény kizárja azt, hogy a Fibonacci-számok sorszáma összetett szám legyen. Ez alól kivétel a 3, ez pedig azért van, mert az F(4) tag az F(1),F(2),F(4),F(8),... felállásban van benne, és F(1)=F(2)=1. Nyilván 1-gyel minden szám osztható, ezért fordulhat elő az, hogy az F(4) prímszám.

4. Fibonacci szám: 3 (4 nem prímszám, 3 prímszám) ez kivétel

Ami megcáfolja az állításodat. A prím Fibonacci-számok sorszáma nem prímszám. De ha jó az 1-es bizonyítása, akkor ez az egyetlen kivétel.